余弦定理教案。

前輩告訴我們，做事之前提前下功夫是成功的一部分。在上課時(shí)幼兒園的老師都想讓自己的課堂知識(shí)能夠吸引小朋友們的注意力，大部分老師為了讓學(xué)生學(xué)的更好都會(huì)事先準(zhǔn)備好教案，有了教案上課才能夠?yàn)橥瑢W(xué)講更多的，更全面的知識(shí)。那么怎么才能寫出優(yōu)秀的幼兒園教案呢？有請駐留一會(huì)，閱讀小編為你整理的余弦定理教案，為防遺忘，建議你收藏本頁！

余弦定理教案 篇1

教學(xué)目標(biāo):(1)掌握余弦定理,并能解決一些簡單的度量問題.

(2)初步運(yùn)用余弦定理解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題. (3)經(jīng)歷余弦定理的發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證過程,增強(qiáng)學(xué)生的理性思維能力. 教學(xué)重點(diǎn):余弦定理的發(fā)現(xiàn)與運(yùn)用. 教學(xué)難點(diǎn):余弦定理的證明.

(2)課前,教者在黑板上畫好如圖所示的三個(gè)三角形.

情境1 A,B兩地之間隔著一座小山,現(xiàn)要測量A、B之間即將修建的一條直的隧道的長度.另選一個(gè)點(diǎn)C,可以測得的數(shù)據(jù)有:AC?182m,BC?126m,?ACB?630,如何求A、B兩地之間隧道的長度(精確到1m).

A

情境2 一位工人欲做一個(gè)三角形的支架.已知桿BC的長度為6分米,DAE是由一根直的鋼管沿著點(diǎn)A彎折而成.若彎折點(diǎn)A與焊接點(diǎn)B,C的距離分別為4分米和5分米,欲彎折后桿BC恰好能與兩焊接點(diǎn)相接,則彎折后∠BAC的大小是多少(精確到0.1度)?

師:顯然,這兩個(gè)都是解三角形的問題.其中,情境1的實(shí)質(zhì)是知道了三角形的兩邊與其夾角,求第三邊的長度；而情境2的實(shí)質(zhì)就是已知三角形的三條邊,要求其一個(gè)內(nèi)角的大小.

請問:(1)這兩個(gè)問題能用正弦定理來解決嗎? 生:不能.

師:對,在解法上是互逆的,所以本節(jié)課我們將要探究的核心問題是:在已知三角形兩條邊的前提下,其夾角的大小與第三條邊的長度之間有著怎樣的關(guān)系?這正是余弦定理所揭示的規(guī)律----引入課題.

問題1 在?ABC中,已知CB?a,CA?b(其中a?b),當(dāng)?C從小到大變化時(shí),AB的長度的變化趨勢如何?

師:(學(xué)生思考了一會(huì)兒后)我們可以用一個(gè)簡單的實(shí)驗(yàn)看一下. (課上,利用課前制作道具做一下演示實(shí)驗(yàn).) 生: AB的長度隨著?C的增大而增大.

師:這是一個(gè)定性的結(jié)論.那么對于定量的研究,一個(gè)常用的思維策略是特殊化. 取C=90?是最容易想到的；另外,雖然角C不能取0?與180?,但它可以無限接近這兩個(gè)角,所以不妨再考察一下這兩種情形.

續(xù)問: 若將?C的范圍擴(kuò)大到[00,1800],特別地:當(dāng)?C?00,?C?900,?C?1800這三種特殊情形時(shí),AB的長度分別是多少?

時(shí),AB?a?b.

:

當(dāng)?C?00時(shí),AB?當(dāng)?C?900時(shí),AB?當(dāng)?C?1800時(shí),AB?B

A

問題2 請你根據(jù)上述三個(gè)特例的結(jié)果,試猜想:當(dāng)?C??(00???1800)時(shí),線段AB的長度是多少?

:AB?問題3 你能驗(yàn)證該猜想嗎?請?jiān)囈辉?

(課上,利用課前畫好的三張圖進(jìn)行討論.先讓學(xué)生獨(dú)立思考一會(huì)兒,然后根據(jù)學(xué)生回答的情況進(jìn)行講解,至少討論下列前兩種方法.)

方法一:

證: (1)當(dāng)?C??為銳角時(shí),過點(diǎn)A作AD?BC于D.

則AB2?BD2?AD2?(a?bcos?)2?(bsin?)2=a2?b2?2abcos?.

(2)當(dāng)?C??為直角時(shí),結(jié)論顯然成立.

(3)當(dāng)?C??為鈍角時(shí), 過點(diǎn)A作AD?BC交BC的延長線于D. 則AB?BD?AD?(a?bcos(???))?(bsin(???))

?(a?bcos?)?(bsin?)=a?b?2abcos?.

綜上所述,

均有AB?故猜想成立.

師:這種思路是構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理來計(jì)算AB的長,但要注意這里要分三種情況討論.

方法二:

????2????2????????

?AC?CB?2AC?CB?a2?b2?2abcos(???)?a2?b2?2abcos?,

即AB?故猜想成立.

師:這種方法的思路是構(gòu)造向量,借助向量的運(yùn)算來證題.將向量等式轉(zhuǎn)化數(shù)量等式常用的手段是作數(shù)量積.

方法三:

證:以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.

????

則B(a,0),A(bcos?,bsin?),則BA?(bcos??a,bsin?),所以

|AB|?(bcos??a)2?(bsin??0)2=a2?b2?2abcos?,

????

即AB?|AB|?故猜想成立.

師:這種思路是建立平面直角坐標(biāo)系,借助于坐標(biāo)運(yùn)算來證題.利用坐標(biāo)法的優(yōu)點(diǎn)在于不必分類討論了且運(yùn)算簡單.

當(dāng)然,我們還可以從其它途徑來驗(yàn)證這一猜想,這里就不再討論了,有興趣的同學(xué)課后我們可以作些交流.

問題4 在三角形中,如何用符號(hào)語言與文字語言表示出上述結(jié)論? (提示:根式的表示形式不如平方的形式來得美觀.)

c2?a2?b2?2abcosC,

生:符號(hào)語言:在△ABC中,有a2?b2?c2?2bccosA,

b2?a2?c2?2accosB.

文字語言:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.

師:很好!這一結(jié)論我們稱之為余弦定理,上述三個(gè)公式是余弦定理的一種表現(xiàn)形式. 問題5 如何根據(jù)三角形三條邊的長度來求其內(nèi)角的大小呢?

師:這是余弦定理的另一種表現(xiàn)形式.對于余弦定理的這兩種形式,我們在解題中應(yīng)該靈活地加以選用.

感悟:(1)在第一組式子中,當(dāng)C=90°時(shí),即有c2?a2?b2.所以,勾股定理是余弦定理 的特殊情形,余弦定理可以看做是勾股定理的推廣.

(2)在第二組式子中,我們考察式子左右兩邊的符號(hào),不難發(fā)現(xiàn):

在△ABC中,C為銳角?a2?b2?c2;C為直角?a2?b2?c2;C為鈍角?a2?b2?c2. 師:也就是說,在三角形中,要判斷一個(gè)內(nèi)角是什么角,只要看它的對邊的平方與其它兩邊平方的和的.大小.

例1 在△ABC中,已知b=3,c=1,A=60°,求a.

解析:由余弦定理,得a2?b2?c2?2bccosA?32?12?2?3?1?cos600?7,

反思:(1)利用余弦定理,可以解決“已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個(gè)角”的問題.

(2)用余弦定理求邊的長度時(shí),切記最后的結(jié)果要開平方. 師: 情境1就是這種類型的問題,我們也不妨看一下解答.

情境1:A,B兩地之間隔著一座小山,現(xiàn)要測量A、B之間即將修建的一條隧道的長度.另選一個(gè)點(diǎn)C,可以測得的數(shù)據(jù)有:AC=182m,BC=126m,∠ACB=63°,如何求A,B兩地之間隧道的長度(精確到1m).

解析: 在?ABC中,因?yàn)锳C?182m,BC?126m,?ACB?630,則由余弦定理,得

AB2?AC2?BC2?2AC?BCcos?ACB?1822?1262?2?182?126cos630 ?1822?1262?2?182?126?0.454?28177.15,

所以AB?168m.

答:A，B兩地之間隧道的長度約為168m. 例2 在?ABC中,已知a=7,b=5,c=3,求A.

所以A=120°.

反思: (1)利用余弦定理,可以解決“已知三邊,求三個(gè)角”的問題. 師:情境2就是這種類型的問題,我們不妨看一下解答.

情境2: 一位工人欲做一個(gè)三角形的支架.已知桿BC的長度為6分米,DAE是由一根直的鋼管沿著點(diǎn)A彎折而成.若彎折點(diǎn)A與焊接點(diǎn)B,C的距離分別為4分米和5分米,欲彎折后桿BC恰好能與兩焊接點(diǎn)相接,則彎折后∠BAC的大小是多少(精確到0.1度)?

解析:在?ABC中,因?yàn)閏?4,b?5,a?6,則由余弦定理,得

cosA???0.125,,所以A?82.80；

反思:(2)利用余弦定理解決實(shí)際問題,解題的關(guān)鍵是建立出相應(yīng)的三角形的模型.同時(shí),要注意最后結(jié)果的精確度的要求.

變式:(1)在△ABC中,已知a2+b2+ab=c2,求角C的大小.

???,即cosC??, 解析:由a+b+ab=c,得a?b?c??ab,則

所以C?1200.

反思:(3)在解三角形時(shí),由邊的條件式求角時(shí),別忘了余弦定理；同時(shí)要注重余弦定理的逆用.

變式:(2)若三條線段的長分別為5,6,7,則用這三條線段( ). A.能組成直角三角形 B.能組成銳角三角形

解析:首先因?yàn)閮蓷l小邊之和大于第三邊,所以能夠組成三角形；接著,只要看最大的角是什么角.因?yàn)?2?62?72,所以最大角為銳角,故這三條線段能組成銳角三角形.

思考:(1)若用長為5,6,x的三條線段構(gòu)成的三角形是鈍角三角形,則正數(shù)x的取值范圍 是________.

(2)在?ABC中,已知a +c =2b,求證:B≤45°.

?x?11或1?x??x2?52?62?62?x2?52??

13c2?3a2?6ca3(c?a)2??0, ?=

數(shù)學(xué)知識(shí)----本節(jié)課新學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)只有余弦定理.余弦定理與正弦定理是三角形中的兩朵奇葩,從形式上看,兩者都具有“美觀”的外形,余弦定理雖有多個(gè)表達(dá)式,但它們之間具有可以輪換的對稱美；從本質(zhì)上看,兩者都揭示了三角形中邊與角之間“美妙”的內(nèi)在聯(lián)系.

在解三角形的問題中,“已知三個(gè)元素”包括了“三條邊,兩角一邊,兩邊一角”這三種情況,前面學(xué)習(xí)的正弦定理能夠解決已知“兩角與任一邊” 以及“兩邊與其中一邊的對角”這兩類問題；今天學(xué)習(xí)的余弦定理又能夠解決已知“三邊” 以及“兩邊及其夾角”的這兩類問題.這樣,對于一般的解三角形問題,我們就都能找到解決的辦法了.當(dāng)然,對于一些較為復(fù)雜的三角形問題,往往還要把這兩個(gè)定理聯(lián)合起來解決問題.

思維啟迪----從本節(jié)課的討論與研究中,我們獲得了以下的一些思維啟迪:

(1)本節(jié)課上,對于余弦定理的發(fā)現(xiàn),我們是從三個(gè)特例開始的,這遵循了“從特殊到一般”的思維策略.

(2)在三個(gè)特例的基礎(chǔ)上,我們進(jìn)行了大膽的猜想,所以合理運(yùn)用數(shù)學(xué)猜想等合情推理手段,是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一個(gè)重要途徑.

(3)另外,在驗(yàn)證余弦定理時(shí),我們運(yùn)用到了幾何、三角、向量等多個(gè)知識(shí)領(lǐng)域,所以我們要注重不同知識(shí)內(nèi)容之間的融會(huì)貫通.

必做作業(yè):教材第16頁習(xí)題1.2第1,2,3,4題. 選做作業(yè):教材第16頁習(xí)題1.2第12題.

課后探究: (1) 思考:若用長為5,6,x的三條線段構(gòu)成的三角形是鈍角三角形,則正數(shù)x的取值范圍是________.

(2)在?ABC中,已知a +c =2b,求證:B≤45°.

余弦定理教案 篇2

各位評委各位同學(xué)，大家好！我是數(shù)學(xué)（）號(hào)選手，今天我說課的題目是余弦定理，選自高中數(shù)學(xué)第一冊(下)中第五章平面向量第二部分解斜三角形的第二節(jié)。我以新課標(biāo)的理念為指導(dǎo)，將教什么、怎樣教，為什么這樣教，分為教材與學(xué)情分析、教法與學(xué)法、教學(xué)過程、板書設(shè)計(jì)四個(gè)方面進(jìn)行說明：

一、教材與學(xué)情分析

這節(jié)課與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊和角的基本關(guān)系及判定三角形的全等有密切聯(lián)系，是高考的必考內(nèi)容之一，在日常生活和工業(yè)生產(chǎn)中也應(yīng)用很多。因此，余弦定理的知識(shí)非常重要。這堂課，我并不準(zhǔn)備將余弦定理全盤托出呈現(xiàn)給學(xué)生，而是采用創(chuàng)設(shè)情境式教學(xué)，通過具體的情景激發(fā)學(xué)生探索新知識(shí)的欲望，引導(dǎo)學(xué)生一步步探究并發(fā)現(xiàn)余弦定理。

根據(jù)教材內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征及原有知識(shí)水平，我制定如下三個(gè)教學(xué)目標(biāo)：

（1）知識(shí)目標(biāo)：掌握余弦定理兩種表示形式，解決兩類基本的解三角形問題。

（2）能力目標(biāo)：通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系。

（3）情感目標(biāo)：面向全體學(xué)生，創(chuàng)造輕松愉快的教學(xué)氛圍，在教學(xué)中體會(huì)形數(shù)美的統(tǒng)一，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，給學(xué)生成功的體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

我將本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)設(shè)為掌握余弦定理，教學(xué)難點(diǎn)設(shè)為初步應(yīng)用余弦定理解三角形問題。

二、教法與學(xué)法

1、教法選擇：根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)、教材內(nèi)容及學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，我選擇創(chuàng)設(shè)情境教學(xué)法、探究教學(xué)法和引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法相結(jié)合。以學(xué)生自主探究、合作交流為主，教師啟發(fā)引導(dǎo)為輔。

2、教學(xué)組織形式：師生互動(dòng)、生生互動(dòng)。

3、學(xué)法指導(dǎo)：巴甫洛夫曾指出：“方法是最主要和最基本的東西”，因此學(xué)之有法，才能學(xué)之有效，學(xué)之有趣。根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)，我在學(xué)法上指導(dǎo)學(xué)生：

①如何探究問題②遇到新的問題時(shí)如何轉(zhuǎn)化為熟悉的問題③做好評價(jià)與反思。

4、教學(xué)手段

根據(jù)數(shù)學(xué)課的特點(diǎn)，我采用的教具是：多媒體和黑板相結(jié)合。利用多媒體進(jìn)行動(dòng)態(tài)和直觀的演示，輔助課堂教學(xué)，為學(xué)生提供感性材料，幫助學(xué)生探索并發(fā)現(xiàn)余弦定理。對證明過程和知識(shí)體系板書演示，力爭與學(xué)生的思維同步。學(xué)具是：紙張、直尺、量角器。

三、教學(xué)過程

三、教學(xué)過程

為了實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，在教學(xué)中注意突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，我將從

創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入課題；

引導(dǎo)探究、獲得性質(zhì)；

應(yīng)用遷移、交流反思；

拓展升華、發(fā)散思維；

小結(jié)歸納、布置作業(yè)

五個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)，具體過程如下：過程省略。

四、板書設(shè)計(jì)：

板書是課堂教學(xué)必不可少的組成部分，為了再現(xiàn)本節(jié)課的知識(shí)體系，滲透結(jié)構(gòu)思想，突出本節(jié)課的重點(diǎn)，我將這樣設(shè)計(jì)板書。性質(zhì)的證明和習(xí)題解答是學(xué)生完成的，讓學(xué)生寫到黑板上，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤可及時(shí)糾正；我將本節(jié)課的知識(shí)體系展示到黑板上，利于學(xué)生理清思路。

余弦定理教案 篇3

如何證明余弦定理

步驟2.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O于D.

連接DA.

因?yàn)橥∷鶎Φ膱A周角相等,所以∠D等于∠C.

下面在銳角△中證明第一個(gè)等式，在鈍角△中證明以此類推。

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2

正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個(gè)定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時(shí)用到作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過于獨(dú)特，不易被初學(xué)者接受.本文試圖通過運(yùn)用多種方法證明正、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.

c2=a2+b2-2abcos C,

b2=a2+c2-2accos B,

a2=b2+c2-2bccos A.

AD=bsin∠BCA，

BE=csin∠CAB，

CF=asin∠ABC。

=casin∠ABC.

AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，

BE=asin∠BCA=csin∠CAB。

的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

因?yàn)锳B=AC+CB，

所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.

因?yàn)閖AC=0，

jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC，

jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .

過A作 ，

法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π-∠B，

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).

根據(jù)向量的運(yùn)算：

=(-acos B,asin B)，

= - =(bcos A-c,bsin A),

(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，

又| |=a,

∴a2=b2+c2-2bccos A.

同理：

c2=a2+b2-2abcos C;

b2=a2+c2-2accos B.

,設(shè) 軸、 軸方向上的單位向量分別為 、 ，將上式的兩邊分別與 、 作數(shù)量積，可知

化簡得b2-a2-c2=-2accos B.

這里(1)為射影定理，(2)為正弦定理，(4)為余弦定理.

參考文獻(xiàn)：

【1】孟燕平?抓住特征，靈活轉(zhuǎn)換?數(shù)學(xué)通報(bào)第11期.

余弦定理教案 篇4

一、說教材? 《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一節(jié)內(nèi)容，是解決有關(guān)斜三角形問題以及應(yīng)用問題的一個(gè)重要定理，它將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來，實(shí)現(xiàn)了“邊”與“角”的互化，從而使“三角”與“幾何”產(chǎn)生聯(lián)系，為求與三角形有關(guān)的量提供了理論依據(jù)，同時(shí)也為判斷三角形形狀，證明三角形中的有關(guān)等式提供了重要依據(jù)。根據(jù)上述教材內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的`認(rèn)知結(jié)構(gòu)，心理特征及原有知識(shí)水平，我將本課的教學(xué)目標(biāo)定為： ⒈知識(shí)與技能：掌握余弦定理的內(nèi)容及公式；能初步運(yùn)用余弦定理解決一些斜三角形； ⒉過程與方法：在探究學(xué)習(xí)的過程中，認(rèn)識(shí)到余弦定理可以解決某些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題，幫助學(xué)生提高運(yùn)用有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。 ⒊情感、態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識(shí)；在運(yùn)用余弦定理的過程中，讓學(xué)生逐步養(yǎng)成實(shí)事求是，扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的思維方式解決問題，認(rèn)識(shí)世界；通過本節(jié)的運(yùn)用實(shí)踐，體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值，應(yīng)用價(jià)值； ⒋本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：運(yùn)用余弦定理探求任意三角形的邊角關(guān)系，解決與之有關(guān)的計(jì)算問題，運(yùn)用余弦定理解決一些與測量以及幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。 ⒌本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：靈活運(yùn)用余弦定理解決相關(guān)的實(shí)際問題。 ⒍本節(jié)課的教學(xué)關(guān)鍵是:熟練掌握并靈活應(yīng)用余弦定理解決相關(guān)的實(shí)際問題。 下面為了講清重點(diǎn)、難點(diǎn)，使學(xué)生能達(dá)到本節(jié)設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)，我再從教法和學(xué)法上談?wù)?/p>

余弦定理教案 篇5

篇一：“余弦定理”教學(xué)設(shè)計(jì)

射陽縣教育局教研室 王克亮

教學(xué)目標(biāo):(1)掌握余弦定理,并能解決一些簡單的度量問題.

(2)初步運(yùn)用余弦定理解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題. (3)經(jīng)歷余弦定理的發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證過程,增強(qiáng)學(xué)生的理性思維能力. 教學(xué)重點(diǎn):余弦定理的發(fā)現(xiàn)與運(yùn)用. 教學(xué)難點(diǎn):余弦定理的證明.

課前準(zhǔn)備:(1)自制一個(gè)如圖所示的道具.

(2)課前,教者在黑板上畫好如圖所示的三個(gè)三角形.

固定聯(lián)結(jié)點(diǎn)

A

塑料棒1

細(xì)繩

可動(dòng)聯(lián)結(jié)點(diǎn)

可轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn) 塑料棒2

道具

b B B

B

A

教學(xué)過程:

一、情境創(chuàng)設(shè) 提出問題

[1]情境引入

師:首先請看兩個(gè)實(shí)際問題:

情境1 A,B兩地之間隔著一座小山,現(xiàn)要測量A、B之間即將修建的一條直的隧道的長度.另選一個(gè)點(diǎn)C,可以測得的數(shù)據(jù)有:AC?182m,BC?126m,?ACB?630,如何求A、B兩地之間隧道的長度(精確到1m).

A

B

B D

C E

A

情境2 一位工人欲做一個(gè)三角形的支架.已知桿BC的長度為6分米,DAE是由一根直的鋼管沿著點(diǎn)A彎折而成.若彎折點(diǎn)A與焊接點(diǎn)B,C的距離分別為4分米和5分米,欲彎折后桿BC恰好能與兩焊接點(diǎn)相接,則彎折后∠BAC的大小是多少(精確到0.1度)?

[2]提出問題

師:顯然,這兩個(gè)都是解三角形的問題.其中,情境1的實(shí)質(zhì)是知道了三角形的兩邊與其夾角,求第三邊的長度；而情境2的實(shí)質(zhì)就是已知三角形的三條邊,要求其一個(gè)內(nèi)角的大小.

請問:(1)這兩個(gè)問題能用正弦定理來解決嗎? 生:不能.

(2)那么,這兩個(gè)問題之間有聯(lián)系嗎? 生:互逆.

師:對,在解法上是互逆的,所以本節(jié)課我們將要探究的核心問題是:在已知三角形兩條邊的前提下,其夾角的大小與第三條邊的長度之間有著怎樣的關(guān)系?這正是余弦定理所揭示的規(guī)律----引入課題.

二、問題探究 知識(shí)建構(gòu)

問題1 在?ABC中,已知CB?a,CA?b(其中a?b),當(dāng)?C從小到大變化時(shí),AB的長度的變化趨勢如何?

師:(學(xué)生思考了一會(huì)兒后)我們可以用一個(gè)簡單的實(shí)驗(yàn)看一下. (課上,利用課前制作道具做一下演示實(shí)驗(yàn).) 生: AB的長度隨著?C的增大而增大.

師:這是一個(gè)定性的結(jié)論.那么對于定量的研究,一個(gè)常用的思維策略是特殊化. 取C=90?是最容易想到的；另外,雖然角C不能取0?與180?,但它可以無限接近這兩個(gè)角,所以不妨再考察一下這兩種情形.

續(xù)問: 若將?C的范圍擴(kuò)大到[00,1800],特別地:當(dāng)?C?00,?C?900,?C?1800這三種特殊情形時(shí),AB的長度分別是多少?

生:當(dāng)?C?00時(shí),AB?a?b；當(dāng)?C?900時(shí)

,AB?；當(dāng)?C?1800

時(shí),AB?a?b.

師:我們不妨把這三個(gè)結(jié)論在形式上寫得更接近些,即

:

當(dāng)?C?00時(shí),AB?當(dāng)?C?900時(shí),AB?當(dāng)?C?1800時(shí),AB?B

A

問題2 請你根據(jù)上述三個(gè)特例的結(jié)果,試猜想:當(dāng)?C??(00???1800)時(shí),線段AB的長度是多少?

(在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上,小組討論交流后請學(xué)生回答) 生

:AB?問題3 你能驗(yàn)證該猜想嗎?請?jiān)囈辉?

(課上,利用課前畫好的三張圖進(jìn)行討論.先讓學(xué)生獨(dú)立思考一會(huì)兒,然后根據(jù)學(xué)生回答的情況進(jìn)行講解,至少討論下列前兩種方法.)

方法一:

證: (1)當(dāng)?C??為銳角時(shí),過點(diǎn)A作AD?BC于D.

則AB2?BD2?AD2?(a?bcos?)2?(bsin?)2=a2?b2?2abcos?.

D

B

A

(2)當(dāng)?C??為直角時(shí),結(jié)論顯然成立.

(3)當(dāng)?C??為鈍角時(shí), 過點(diǎn)A作AD?BC交BC的延長線于D. 則AB?BD?AD?(a?bcos(???))?(bsin(???))

?(a?bcos?)?(bsin?)=a?b?2abcos?.

D

2

2

2

2

2

2

2

A

b

22

C

a

B

綜上所述,

均有AB?故猜想成立.

師:這種思路是構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理來計(jì)算AB的長,但要注意這里要分三種情況討論.

方法二:

????????????????2????????2

證:因?yàn)锳B?AC?CB,所以AB?(AC?CB)

????2????2????????

?AC?CB?2AC?CB?a2?b2?2abcos(???)?a2?b2?2abcos?,

B

A

即AB?故猜想成立.

師:這種方法的思路是構(gòu)造向量,借助向量的運(yùn)算來證題.將向量等式轉(zhuǎn)化數(shù)量等式常用的手段是作數(shù)量積.

方法三:

證:以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.

????

則B(a,0),A(bcos?,bsin?),則BA?(bcos??a,bsin?),所以

????2

|AB|?(bcos??a)2?(bsin??0)2=a2?b2?2abcos?,

????

即AB?|AB|?故猜想成立.

師:這種思路是建立平面直角坐標(biāo)系,借助于坐標(biāo)運(yùn)算來證題.利用坐標(biāo)法的優(yōu)點(diǎn)在于不必分類討論了且運(yùn)算簡單.

當(dāng)然,我們還可以從其它途徑來驗(yàn)證這一猜想,這里就不再討論了,有興趣的同學(xué)課后我們可以作些交流.

問題4 在三角形中,如何用符號(hào)語言與文字語言表示出上述結(jié)論? (提示:根式的表示形式不如平方的形式來得美觀.)

c2?a2?b2?2abcosC,

生:符號(hào)語言:在△ABC中,有a2?b2?c2?2bccosA,

b2?a2?c2?2accosB.

文字語言:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.

師:很好!這一結(jié)論我們稱之為余弦定理,上述三個(gè)公式是余弦定理的一種表現(xiàn)形式. 問題5 如何根據(jù)三角形三條邊的長度來求其內(nèi)角的大小呢?

a2?b2?c2b2?c2?a2a2?c2?b2

生:將上述結(jié)論變形為: cosC?,cosA?,cosB?.

2ab2bc2ac

師:這是余弦定理的另一種表現(xiàn)形式.對于余弦定理的這兩種形式,我們在解題中應(yīng)該靈活地加以選用.

感悟:(1)在第一組式子中,當(dāng)C=90°時(shí),即有c2?a2?b2.所以,勾股定理是余弦定理 的特殊情形,余弦定理可以看做是勾股定理的推廣.

(2)在第二組式子中,我們考察式子左右兩邊的符號(hào),不難發(fā)現(xiàn):

在△ABC中,C為銳角?a2?b2?c2;C為直角?a2?b2?c2;C為鈍角?a2?b2?c2. 師:也就是說,在三角形中,要判斷一個(gè)內(nèi)角是什么角,只要看它的對邊的平方與其它兩邊平方的和的.大小.

三、數(shù)學(xué)應(yīng)用 深化理解

例1 在△ABC中,已知b=3,c=1,A=60°,求a.

解析:由余弦定理,得a2?b2?c2?2bccosA?32?12?2?3?1?cos600?7,

所以a?問:在此條件下,其它元素可求嗎?

反思:(1)利用余弦定理,可以解決“已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個(gè)角”的問題.

(2)用余弦定理求邊的長度時(shí),切記最后的結(jié)果要開平方. 師: 情境1就是這種類型的問題,我們也不妨看一下解答.

情境1:A,B兩地之間隔著一座小山,現(xiàn)要測量A、B之間即將修建的一條隧道的長度.另選一個(gè)點(diǎn)C,可以測得的數(shù)據(jù)有:AC=182m,BC=126m,∠ACB=63°,如何求A,B兩地之間隧道的長度(精確到1m).

解析: 在?ABC中,因?yàn)锳C?182m,BC?126m,?ACB?630,則由余弦定理,得

AB2?AC2?BC2?2AC?BCcos?ACB?1822?1262?2?182?126cos630 ?1822?1262?2?182?126?0.454?28177.15,

所以AB?168m.

答:A，B兩地之間隧道的長度約為168m. 例2 在?ABC中,已知a=7,b=5,c=3,求A.

b2?c2?a252?32?721

解析:由余弦定理,得cosA????,

2bc2?5?32

所以A=120°.

問:在此條件下,其它兩個(gè)角可求嗎? 眾生:可求.

反思: (1)利用余弦定理,可以解決“已知三邊,求三個(gè)角”的問題. 師:情境2就是這種類型的問題,我們不妨看一下解答.

情境2: 一位工人欲做一個(gè)三角形的支架.已知桿BC的長度為6分米,DAE是由一根直的鋼管沿著點(diǎn)A彎折而成.若彎折點(diǎn)A與焊接點(diǎn)B,C的距離分別為4分米和5分米,欲彎折后桿BC恰好能與兩焊接點(diǎn)相接,則彎折后∠BAC的大小是多少(精確到0.1度)?

解析:在?ABC中,因?yàn)閏?4,b?5,a?6,則由余弦定理,得

b2?c2?a252?42?62

cosA???0.125,,所以A?82.80；

2bc2?5?4

A

E

答:彎折后,?BAC?82.80.

D

反思:(2)利用余弦定理解決實(shí)際問題,解題的關(guān)鍵是建立出相應(yīng)的三角形的模型.同時(shí),要注意最后結(jié)果的精確度的要求.

變式:(1)在△ABC中,已知a2+b2+ab=c2,求角C的大小.

a2?b2?c2?ab11222222

???,即cosC??, 解析:由a+b+ab=c,得a?b?c??ab,則

2ab2ab22

所以C?1200.

反思:(3)在解三角形時(shí),由邊的條件式求角時(shí),別忘了余弦定理；同時(shí)要注重余弦定理的逆用.

變式:(2)若三條線段的長分別為5,6,7,則用這三條線段( ). A.能組成直角三角形 B.能組成銳角三角形

C.能組成鈍角三角形 D.不能組成三角形

解析:首先因?yàn)閮蓷l小邊之和大于第三邊,所以能夠組成三角形；接著,只要看最大的角是什么角.因?yàn)?2?62?72,所以最大角為銳角,故這三條線段能組成銳角三角形.

思考:(1)若用長為5,6,x的三條線段構(gòu)成的三角形是鈍角三角形,則正數(shù)x的取值范圍 是________.

(2)在?ABC中,已知a +c =2b,求證:B≤45°.

?x?6?x?6??

解析:(1)由?x?5?6或?5?x?6,

?x?11或1?x??x2?52?62?62?x2?52??

(2)要證: B≤60°,只要證:cosB?

1c?a?b1???22ca21

所以cosB?,故B≤60°.

2

2

2

2

1. 2

c2?a2?(

而cosB?

c?a2

)

13c2?3a2?6ca3(c?a)2??0, ?=

8ca8ca2ca2

四、思維提升 鞏固拓展

[1]課堂小結(jié)

數(shù)學(xué)知識(shí)----本節(jié)課新學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)只有余弦定理.余弦定理與正弦定理是三角形中的兩朵奇葩,從形式上看,兩者都具有“美觀”的外形,余弦定理雖有多個(gè)表達(dá)式,但它們之間具有可以輪換的對稱美；從本質(zhì)上看,兩者都揭示了三角形中邊與角之間“美妙”的內(nèi)在聯(lián)系.

在解三角形的問題中,“已知三個(gè)元素”包括了“三條邊,兩角一邊,兩邊一角”這三種情況,前面學(xué)習(xí)的正弦定理能夠解決已知“兩角與任一邊” 以及“兩邊與其中一邊的對角”這兩類問題；今天學(xué)習(xí)的余弦定理又能夠解決已知“三邊” 以及“兩邊及其夾角”的這兩類問題.這樣,對于一般的解三角形問題,我們就都能找到解決的辦法了.當(dāng)然,對于一些較為復(fù)雜的三角形問題,往往還要把這兩個(gè)定理聯(lián)合起來解決問題.

思維啟迪----從本節(jié)課的討論與研究中,我們獲得了以下的一些思維啟迪:

(1)本節(jié)課上,對于余弦定理的發(fā)現(xiàn),我們是從三個(gè)特例開始的,這遵循了“從特殊到一般”的思維策略.

(2)在三個(gè)特例的基礎(chǔ)上,我們進(jìn)行了大膽的猜想,所以合理運(yùn)用數(shù)學(xué)猜想等合情推理手段,是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一個(gè)重要途徑.

(3)另外,在驗(yàn)證余弦定理時(shí),我們運(yùn)用到了幾何、三角、向量等多個(gè)知識(shí)領(lǐng)域,所以我們要注重不同知識(shí)內(nèi)容之間的融會(huì)貫通.

[2]作業(yè)布置

必做作業(yè):教材第16頁習(xí)題1.2第1,2,3,4題. 選做作業(yè):教材第16頁習(xí)題1.2第12題.

課后探究: (1) 思考:若用長為5,6,x的三條線段構(gòu)成的三角形是鈍角三角形,則正數(shù)x的取值范圍是________.

(2)在?ABC中,已知a +c =2b,求證:B≤45°.

篇二：關(guān)于余弦定理初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

對余弦定理的探究，教材是從直角三角形入手，通過向量知識(shí)給予證明的.一是進(jìn)一步加深學(xué)生對向量工具性的認(rèn)識(shí)，二是感受向量法證明余弦定理的奇妙之處，感受向量法在解決問題中的威力.課后仍鼓勵(lì)學(xué)生探究余弦定理的其他證明方法，推出余弦定理后，可讓學(xué)生用自己的語言敘述出來，并讓學(xué)生結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)明確：如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角;如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角;如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推廣.還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生注意余弦定理的幾種變形式，并總結(jié)余弦定理的適用題型的特點(diǎn)，在解題時(shí)正確選用余弦定理達(dá)到求解、化簡的目的.

應(yīng)用余弦定理及其另一種形式，并結(jié)合正弦定理，可以解決以下問題：(1)已知兩邊和它們的夾角解三角形;(2)已知三角形的三邊解三角形.在已知兩邊及其夾角解三角形時(shí)，可以用余弦定理求出第三條邊，這樣就把問題轉(zhuǎn)化成已知三邊解三角形的問題.在已知三邊和一個(gè)角的情況下，求另一個(gè)角既可以應(yīng)用余弦定理的另一種形式，也可以用正弦定理.用余弦定理的另一種形式，可以(根據(jù)角的余弦值)直接判斷角是銳角還是鈍角，但計(jì)算比較復(fù)雜.用正弦定理計(jì)算相對比較簡單，但仍要根據(jù)已知條件中邊的大小來確定角的大小.

根據(jù)教材特點(diǎn)，本內(nèi)容安排2課時(shí).一節(jié)重在余弦定理的推導(dǎo)及簡單應(yīng)用，一節(jié)重在解三角形中兩個(gè)定理的綜合應(yīng)用.

三維目標(biāo)

1.通過對余弦定理的探究與證明，掌握余弦定理的另一種形式及其應(yīng)用;了解余弦定理與勾股定理之間的聯(lián)系;知道解三角形問 題的幾種情形.

2.通過對三角形邊角關(guān)系的探索，提高數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力，并進(jìn)一步理解三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，加深對數(shù)學(xué)具有廣泛應(yīng)用的認(rèn)識(shí);同時(shí)通過正弦定理、余弦定理數(shù)學(xué)表達(dá)式的變換，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)中的對稱美、簡潔美、統(tǒng)一美.

3.加深對數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)，本節(jié)的主要數(shù)學(xué)思想是量化的數(shù)學(xué)思想、分類討論思想以及數(shù)形結(jié)合思想;這些數(shù)學(xué)思想是對于數(shù)學(xué)知識(shí)的理性的、本質(zhì)的、高度抽象的、概括的認(rèn)識(shí)，具有普遍的指導(dǎo)意義，它是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要組成部分，有利于加深學(xué)生對具體數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握.

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：掌握余弦定理;理解余弦定理的推導(dǎo)及其另一種形式，并能應(yīng)用它們解三角形.

教學(xué)難點(diǎn)：余弦定理的證明及其基本應(yīng)用以及結(jié)合正弦定理解三角形.

課時(shí)安排

2課時(shí)

教學(xué)過程

第1課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路1.(類比導(dǎo)入)在探究正弦定理的證明過程中，從直角三角形的特殊情形入手，發(fā)現(xiàn)了正弦定理.現(xiàn)在我們?nèi)匀粡闹苯侨切蔚倪@種特殊情形入手，然后將銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再適當(dāng)運(yùn)用勾股定理進(jìn)行探索，這種導(dǎo)入比較自然流暢，易于學(xué)生接受.

思路2.(問題導(dǎo)入)如果已知一個(gè)三角形的兩條邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判斷方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形，能否把這個(gè)邊角關(guān)系準(zhǔn)確量化出來呢?也就是從已知的兩邊和它們的夾角能否計(jì)算出三角形的另一邊和另兩個(gè)角呢?根據(jù)我們掌握的數(shù)學(xué)方法，比如說向量法，坐標(biāo)法，三角法，幾何法等，類比正弦定理的證明，你能推導(dǎo)出余弦定理嗎?

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

??1?通過對任意三角形中大邊對大角，小邊對小角的邊角量化，我們發(fā)現(xiàn)了正弦定理，解決了兩類解三角形的問題.那么如果已知一個(gè)三角形的兩條邊及這兩邊所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.怎樣已知三角形的兩邊及這兩邊夾角的條件下解三角形呢?

?2?能否用平面幾何方法或向量方法或坐標(biāo)方法等探究出計(jì)算第三邊長的關(guān)系式或計(jì)算公式呢?

?3?余弦定理的內(nèi)容是什么?你能用文字語言敘述它嗎?余弦定理與以前學(xué)過的關(guān)于三角形的什么定理在形式上非常接近?

?4?余弦定理的另一種表達(dá)形式是什么?

?5?余弦定理可以解決哪些類型的解三角形問題?怎樣求解?

?6?正弦定理與余弦定理在應(yīng)用上有哪些聯(lián)系和區(qū)別?

活動(dòng)：根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，結(jié)合課件“余弦定理猜想與驗(yàn)證”，教師引導(dǎo)學(xué)生仍從特殊情形入手，通過觀察、猜想、證明而推廣到一般.

如下圖，在直角三角形中，根據(jù)兩直角邊及直角可表示斜邊，即勾股定理，那么對于任意三角形，能否根據(jù)已知兩邊及夾角來表示第三邊呢?下面，我們根據(jù)初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識(shí)來研究這一問題.

如下圖，在△ABC中，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，試根據(jù)b、c、∠A來表示a.

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究.由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)成直角三角形.在直角三角形內(nèi)通過邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作CD垂直于AB于點(diǎn)D，那么在Rt△BDC中，邊a可利用勾股定理通過CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用邊角關(guān)系表示，DB可利用AB，AD表示，進(jìn)而在Rt△ADC內(nèi)求解.探究過程如下：

過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，則在Rt△CDB中，根據(jù)勾股定理，得

a2=CD2+BD2.

∵在Rt△ADC中，CD2=b2-AD2，

又∵BD2=(c-AD)2=c2-2c?AD+AD2，

∴a2=b2-AD2+c2-2c?AD+AD2=b2+c2-2c?AD.

又∵在Rt△ADC中，AD=b?cosA，

∴a2=b2+c2-2bccosA.

類似地可以證明b2=c2+a2-2cacosB.

c2=a2+b2-2abcosC.

另外，當(dāng)A為鈍角時(shí)也可證得上述結(jié)論，當(dāng)A為直角時(shí)，a2+b2=c2也符合上述結(jié)論.

這就是解三角形中的另一個(gè)重要定理——余弦定理.下面類比正弦定理的證明，用向量的方法探究余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量知識(shí)的工具性作用.

教師與學(xué)生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出現(xiàn)的，又涉及邊長問題，學(xué)生很容易想到向量的數(shù)量積的定義式：a?b=|a||b|cosθ，其中θ為a，b的夾角.

用向量法探究余弦定理的具體過程如下：

如下圖，設(shè)CB→=a，CA→=b，AB→=c，那么c=a-b，

|c|2=c?c=(a-b)?(a-b)

=a?a+b?b-2a?b

=a2+b2-2abcosC.

所以c2=a2+b2-2abcosC.

同理可以證明a2=b2+c2-2bccosA，

b2=c2+a2-2cacosB.

這個(gè)定理用坐標(biāo)法證明也比較容易，為了拓展學(xué)生的思路，教師可引導(dǎo)學(xué)生用坐標(biāo)法證明，過程如下：

如下圖，以C為原點(diǎn)，邊CB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(bcosC，bsinC)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式

AB=?bcosC-a?2+?bsinC-0?2，

∴c2=b2cos2C-2abcosC+a2+b2sin2C，

整理，得c2=a2+b2-2abcosC.

同理可以證明：a2=b2+c2-2bccosA，

b2=c2+a2-2cacosB.

余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即

a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC

余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系，每一個(gè)等式中都包含四個(gè)不同的量，它們分別是三 角形的三邊和一個(gè)角，知道其中的三個(gè)量，就可以求得第四個(gè)量.從而由三角形的三邊可確定三角形的三個(gè)角，得到余弦定理的另一種形式：

cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察、分析余弦定理的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)余弦定理與以前的關(guān)于三角形的勾股定理在形式上非常接近，讓學(xué)生比較并討論它們之間的關(guān)系.學(xué)生容易看出，若△ABC中，C=90°，則cosC=0，這時(shí)余弦定理變?yōu)閏2=a2+b2.由此可知，余弦定理是勾股定理的推廣;勾股定理是余弦定理的特例.另外，從余弦定理和余弦函 數(shù)的性質(zhì)可知，在一個(gè)三角形中，如果兩邊的平方和 等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角;如果兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角;如果兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.從以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣.

應(yīng)用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)解三角形的問題：

①已知三角形的三邊解三角形，這類問題是三邊確定，故三角也確定，有解;

②已知兩邊和它們的夾角解三角形，這類問題是第三邊確定，因而其他兩個(gè)角也確定，故解.不會(huì)產(chǎn)生利用正弦定理解三角形所產(chǎn)生的判斷解的取舍的問題.

把正弦定理和余弦定理結(jié)合起來應(yīng)用，能很好地解決解三角形的問題.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個(gè)定理可解決的問題類型會(huì)發(fā)現(xiàn)：如果已知的是三角形的三邊和一個(gè)角的情況，而求另兩角中的某個(gè)角時(shí)，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么這兩種方法哪個(gè)會(huì)更好些呢?教師與學(xué)生一起探究得到：若用余弦定理的另一種形式，可以根據(jù)余弦值直接判斷角是銳角還是鈍角，但計(jì)算比較復(fù)雜.用正弦定理計(jì)算相對比較簡單，但仍要根據(jù)已知條件中邊的大小來確定角的大小，所以一般應(yīng)該選擇用正弦定理去計(jì)算比較小的邊所對的角.教師要點(diǎn)撥學(xué)生注意總結(jié)這種優(yōu)化解題的技巧.

討論結(jié)果：

(1)、(2)、(3)、(6)見活動(dòng).

(4)余弦定理的另一種表達(dá)形式是：

cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab

(5)利用余弦定理可解決兩類解三角形問題：

一類是已知三角形三邊，另一類是已知三角形兩邊及其夾角.

應(yīng)用示例

例1如圖，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c.

活動(dòng)：本例是利用余弦定理解決的第二類問題，可讓學(xué)生獨(dú)立完成.

解：由余弦定理，得

c2=a2+b2-2abcos120°，

因此c=52+42-2×5×4×?-12?=61.

例2如圖，在△ABC中，已知a=3，b=2，c=19，求此三角形各個(gè)角的大小及其面積.(精確到0.1)

活動(dòng)：本例中已知三角形三邊，可利用余弦定理先求出邊所對的角，然后利用正弦定理再求出另一角，進(jìn)而求得第三角.教材中 這樣安排是為了讓學(xué)生充分熟悉正弦定理和余弦定理.實(shí)際教學(xué)時(shí)可讓學(xué)生自己探求解題思路，比如學(xué)生可能會(huì)三次利用余弦定理分別求出三個(gè)角，或先求出最小邊所對的角再用正弦定理求其他角，這些教師都要給予鼓勵(lì)，然后讓學(xué)生自己比較這些方法的不同或優(yōu)劣，從而深刻理解兩個(gè)定理的.

解：由余弦定理，得

cos∠BCA=a2+b2-c22ab=32+22-?19?22×3×2=9+4-1912=-12，

因此∠BCA=120°，

再由正弦定理，得

sinA=asin∠BCAc=3×3219=33219≈0.596 0，

因此∠A≈36.6°或∠A≈143.4°(不合題意，舍去).

因此∠B=180°-∠A-∠BCA≈23.4°.

設(shè)BC邊上的高為AD，則

AD=csinB=19sin23.4°≈1.73.

所以△ABC的面積≈12×3×1.73≈2.6.

點(diǎn)評：在既可應(yīng)用正弦定理又可應(yīng)用余弦定理時(shí)，體會(huì)兩種方法存在的差異.當(dāng)所求的 角是鈍角時(shí)，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理則不能直接判定.

變式訓(xùn)練

在△ABC中，已知a=14，b=20，c=12，求A、B和C.(精確到1°)

解：∵cosA=b2+c2-a22bc=202+122-1422×20×12=0.725 0，

∴A≈44°.

∵cosC=a2+b2-c22ab=142+202-1222×14×20=113140≈0.807 1，

∴C≈36°.

∴B=180°-(A+C)≈180°-(44°+36°)=100°.

例3如圖，△ABC的頂點(diǎn)為A(6,5)，B(-2,8)和C(4,1)，求∠A.(精確到0.1°)

活動(dòng)：本例中三角形的三點(diǎn)是以坐標(biāo)的形式給出的，點(diǎn)撥學(xué)生利用兩點(diǎn)間距離公式先求出三邊，然后利用余弦定理求出∠A.可由學(xué)生自己解決，教師給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo).

解：根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得

AB=[6-?-2?]2+?5-8?2=73，

BC=?-2-4?2+?8-1?2=85，

AC=?6-4?2+?5-1?2=25.

在△ABC中，由余弦定理，得

cosA=AB2+AC2-BC22AB?AC=2365≈0.104 7，

因此∠A≈84.0°.

點(diǎn)評：三角形三邊的長作為中間過程，不必算出精確數(shù)值.

變式訓(xùn)練

用向量的數(shù)量積運(yùn)算重做本例.

解：如例3題圖，AB→=(-8,3)，AC→=(-2，-4)，

∴|AB→|=73，|AC→|=20.

∴cosA=AB→?AC→|AB→||AC→|

=-8×?-2?+3×?-4?73×20

=2365≈0.104 7.

因此∠A≈84.0°.

例4在△ABC中，已知a=8，b=7，B=60°，求c及S△ABC.

活動(dòng)：根據(jù)已知條件可以先由正弦定理求出角A，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出角C，再利用正弦定理求出邊c，而三角形面積由公式S△ABC=12acsinB可以求出.若用余弦定理求c，可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立關(guān)于c的方程，亦能達(dá)到求c的目的.

解法一：由正弦定理，得8sinA=7sin60°，

∴A1=81.8°，A2=98.2°.

∴C1=38.2°，C2=21.8°.

由7sin60°=csinC，得c1=3，c2=5，

∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103.

解法二：由余弦定理，得b2=c2+a2-2cacosB，

∴72=c2+82-2×8×ccos60°.

整理，得c2-8c+15=0，

解之，得c1=3，c2=5.∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103.

點(diǎn)評：在解法一的思路里，應(yīng)注意用正弦定理應(yīng)有兩種結(jié)果，避免遺漏;而解法二更有耐人尋味之處，體現(xiàn)出余弦定理作為公式而直接應(yīng)用的另外用處，即可以用之建立方程，從而運(yùn)用方程的觀點(diǎn)去解決，故解法二應(yīng)引起學(xué)生的注意.

綜合上述例題，要求學(xué)生總結(jié)余弦定理在求解三角形時(shí)的適用范圍;已知三邊求角或已知兩邊及其夾角解三角形，同時(shí)注意余弦定理在求角時(shí)的優(yōu)勢以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知兩邊及一角解三角形可用余弦定理解之.

變式訓(xùn)練

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c.已知c=2，C=60°.

(1)若△ABC的面積等于3，求a，b;

(2)若sinB=2sinA，求△ABC的面積.

解：(1)由余弦定理及已知條件，得a2+b2-2abcos60°=c2，即a2+b2-ab=4，

又因?yàn)椤鰽BC的面積等于3，所以12absinC=3，ab=4.

聯(lián)立方程組a2+b2-ab=4，ab=4，解得a=2，b=2.

(2)由正弦定理及已知條件，得b=2a，

聯(lián)立方程組a2+b2-ab=4，b=2a，解得a=233，b=433.

所以△ABC的面積S=12absinC=233.

知能訓(xùn)練

1.在△ABC中，已知C=120°，兩邊a與b是方程x2-3x+2=0的兩根，則c的值為…

( )

A.3 B.7 C.3 D.7

2.已知三角形的三邊長分別為x2+x+1，x2-1,2x+1(x>1)，求三角形的角.

答案：

1.D 解析：由題意，知a+b=3，ab=2.

在△ABC中，由余弦定理，知

c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab

=(a+b)2-ab

=7，

∴c=7.

2.解：比較得知，x2+x+1為三角形的邊，設(shè)其對角為A.

由余弦定理，得

cosA=?x2-1?2+?2x+1?2-?x2+x+1?22?x2-1??2x+1?

=-12.

∵0

即三角形的角為120°.

課堂小結(jié)

1.教師先讓學(xué)生回顧本節(jié)課的探究過程，然后再讓學(xué)生用文字語言敘述余弦定理，準(zhǔn)確理解其實(shí)質(zhì)，并由學(xué)生回顧可用余弦定理解決哪些解三角形的問題.

2.教師指出：從方程的觀點(diǎn)來分析，余弦定理的每一個(gè)等式都包含了四個(gè)不同的量，知道其中三個(gè)量，便可求得第四個(gè)量.要通過課下作業(yè)，從方程的角度進(jìn)行各種變形，達(dá)到辨明余弦定理作用的目的.

3.思考本節(jié)學(xué)到的探究方法，定性發(fā)現(xiàn)→定量探討→得到定理.

作業(yè)

課本習(xí)題1—1A組4、5、6;習(xí)題1—1B組1～5.

設(shè)計(jì)感想

本教案的設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了“民主教學(xué)思想”，教師不主觀、不武斷、不包辦，讓學(xué)生充分發(fā)現(xiàn)問題，合作探究，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體，力求在課堂上人人都會(huì)有“令你自己滿意”的探究成果.這樣能夠不同程度地開發(fā)學(xué)生的潛能，且使教學(xué)內(nèi)容得以鞏固和延伸.“發(fā)現(xiàn)法”是常用的一種教學(xué)方法，本教案設(shè)計(jì)是從直角三角形出發(fā)，以歸納——猜想——證明——應(yīng)用為線索，用恰當(dāng)?shù)膯栴}通過啟發(fā)和點(diǎn)撥，使學(xué)生把規(guī)律和方法在愉快的氣氛中探究出來，而展現(xiàn)的過程合情合理，自然流暢，學(xué)生的主體地位得到了充分的發(fā)揮.

縱觀本教案設(shè)計(jì)流程，引入自然，學(xué)生探究到位，體現(xiàn)新課程理念，能較好地完成三維目標(biāo)，課程內(nèi)容及重點(diǎn)難點(diǎn)也把握得恰到好處.環(huán)環(huán)相扣的設(shè)計(jì)流程會(huì)強(qiáng)烈地感染著學(xué)生積極主動(dòng)地獲取知識(shí)，使學(xué)生的探究欲望及精神狀態(tài)始終處于狀態(tài).在整個(gè)教案設(shè)計(jì)中學(xué)生的思維活動(dòng)量大，這是貫穿整個(gè)教案始終的一條主線，也應(yīng)是實(shí)際課堂教學(xué)中的一條主線.

備課資料

一、與解三角形有關(guān)的幾個(gè)問題

1.向量方法證明三角形中的射影定理

如圖，在△ABC中，設(shè)三內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c.

∵AC→+CB→=AB→，

∴AC→?(AC→+CB→)=AC→?AB→.

∴AC→?AC→+AC→?CB→=AC→?AB→.

∴|AC→|2+|AC→||CB→|cos(180°-C)=|AB→||AC→|cosA.

∴|AC→|-|CB→|cosC=|AB→|cosA.

∴b-acosC=ccosA，

即b=ccosA+acosC.

同理，得a=bcosC+ccosB，c=bcosA+acosB.

上述三式稱為三角形中的射影定理.

2.解斜三角形題型分析

正弦定理和余弦定理的每一個(gè)等式中都包含三角形的四個(gè)元素，如果其中三個(gè)元素是已知的(其中至少有一個(gè)元素是邊)，那么這個(gè)三角形一定可解.

關(guān)于斜三角形的解法，根據(jù)所給的條件及適用的定理可以歸納為下面四種類型：

(1)已知兩角及其中一個(gè)角的對邊，如A、B、a，解△ABC.

解：①根據(jù)A+B+C=π，求出角C;

②根據(jù)asinA=bsinB及asinA=csinC，求b、c.

如果已知的是兩角和它們的夾邊，如A、B、c，那么先求出第三角C，然后按照②來求解.求解過程中盡可能應(yīng)用已知元素.

(2)已知兩邊和它們的夾角，如a、b、C，解△ABC.

解：①根據(jù)c2=a2+b2-2abcosC，求出邊c;

②根據(jù)cosA=b2+c2-a22bc，求出角A;

③由B=180°-A-C，求出角B.

求出第三邊c后，往往為了計(jì)算上的方便，應(yīng)用正弦定理求角，但為了避免討論角是鈍角還是銳角，應(yīng)先求較小邊所對的角(它一定是銳角)，當(dāng)然也可以用余弦定理求解.

(3)已知兩邊及其中一條邊所對的角，如a、b、A，解△ABC.

解：①asinA=bsinB，經(jīng)過討論求出B;

②求出B后，由A+B+C=180°，求出角C;

③再根據(jù)asinA=csinC，求出邊c.

(4)已知三邊a、b、c，解△ABC.

解：一般應(yīng)用余弦定理求出兩角后，再由A+B+C=180°，求出第三個(gè)角.

另外，和第二種情形完全一樣，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)角求出后，可以根據(jù)正弦定理求出第二個(gè)角，但仍然需注意要先求較小邊所對的銳角.

(5)已知三角，解△ABC.

解：滿足條件的三角形可以作出無窮多個(gè)，故此類問題解不.

3.“可解三角形”與“需解三角形”

解斜三角形是三角函數(shù)這章中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是求解立體幾何和解析幾何問題的一個(gè)重要工具.但在具體解題時(shí)，有些同學(xué)面對較為復(fù)雜(即圖中三角形不止一個(gè))的斜三角形問題，往往不知如何下手.至于何時(shí)用正弦定理或余弦定理也是心中無數(shù)，這既延長了思考時(shí)間，更影響了解題的速度和質(zhì)量.但若明確了“可解三角形”和“需解三角形”這兩個(gè)概念，則情形就不一樣了.

所謂“可解三角形”，是指已經(jīng)具有三個(gè)元素(至少有一邊)的三角形;而“需解三角形”則是指需求邊或角所在的三角形.當(dāng)一個(gè)題目的圖形中三角形個(gè)數(shù)不少于兩個(gè)時(shí)，一般來說其中必有一個(gè)三角形是可解的，我們就可先求出這個(gè)“可解三角形”的某些邊和角，從而使“需解三角形”可解.在確定了“可解三角形”和“需解三角形”后，就要正確地判斷它們的類型，合理地選擇正弦定理或余弦定理作為解題工具，求出需求元素，并確定解的情況.

“可解三角形”和“需解三角形”的引入，能縮短求解斜三角形問 題的思考時(shí)間.一題到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底.分析問題的思路也從“試試看”“做做看”等不大確定的狀態(tài)而變?yōu)椤坝械姆攀浮钡厝ネ诰?，去探?

二、備用習(xí)題

1.△ABC中，已知b2-bc-2c2=0，a=6，cosA=78，則△ABC的面積S為( )

A.152 B.15 C.2 D.3

2.已知一個(gè)三角形的三邊為a、b和a2+b2+ab，則這個(gè)三角形的角是( )

A.75° B.90° C.120° D.150°

3.已知銳角三角形的兩邊長為2和3，那么第三邊長x的取值范圍是( )

A.(1,5) B.(1，5) C.(5，5) D.(5，13)

4.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個(gè)新三角形的形狀為( )

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.由增加的長度確定

5.(1)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知a=3，b=3，C=30°，則A=__________.

(2)在△ABC中，三個(gè)角A，B，C的對邊邊長分別為a=3，b=4，c=6，則bccosA+cacosB+abcosC的值為__________.

6.在△ABC中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab，并且sinC=2sinBcosA，試判斷△ABC的形狀.

7.在△ABC中，設(shè)三角形面積為S，若S=a2-(b -c)2，求tanA2的值.

參考答案：

1.A 解析：由b2-bc-2c2=0，即(b+c)(b-2c)=0，得b=2c;①

由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，即6=b2+c2-74bc.②

解①②，得b=4，c=2.

由cosA=78，得sinA=158，

∴S△ABC=12bcsinA=12×4×2×158=152.

2.C 解析：設(shè)角為θ，由余弦定理，得a2+b2+ab=a2+b2-2abcosθ，

∴cosθ=-12.∴θ=120°.

3.D 解析：若x為邊，由余弦定理，知4+9-x22×2×3>0，即x2

若x為最小邊，則由余弦定理知4+x2-9>0，即x2>5，

∴x>5.綜上，知x的取值范圍是5

4.A 解析：設(shè)直角三角形的三邊為a，b，c，其中c為斜邊，增加長度為x.

則c+x為新三角形的最長邊.設(shè)其所對的角為θ，由余弦定理知，

cosθ=?a+x?2+?b+x?2-?c+x?22?a+x??b+x?=2?a+b-c?x+x22?a+x??b+x?>0.

∴θ為銳角，即新三角形為銳角三角形.

5.(1)30° (2)612 解析：(1)∵a=3，b=3，C=30°，由余弦定理，有

c2=a2+b2-2abcosC=3+9-2×3×3×32=3，

∴a=c，則A=C=30°.

(2)∵bccosA+cacosB+abcosC=b2+c2-a22+c2+a2-b22+a2+b2-c22

=a2+b2+c22=32+42+622=612.

6.解：由正弦定理，得sinCsinB=cb，

由sinC=2sinBcosA，得cosA=sinC2sinB=c2b，

又根據(jù)余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc，

故c2b=b2+c2-a22bc，即c2=b2+c2-a2.

于是，得b2=a2，故b=a.

又因?yàn)?a +b+c)(a+b-c)=3ab，

故(a+b)2-c2=3ab.由a=b，得4b2-c2=3b2，

所以b2=c2，即b=c.故a=b=c.

因此△ABC為正三角形.

7.解：S=a2-(b-c)2，又S=12bcsinA，

∴12bcsinA=a2-(b-c)2，

有14sinA=-?b2+c2-a2?2bc+1，

即14?2sinA2?cosA2=1-cosA.

∴12?sinA2?cosA2=2sin2A2.

∵sinA2≠0，故12cosA2=2 sinA2，∴tanA2=14.

第2課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)讓學(xué)生回顧正弦定理、余弦定理的內(nèi)容及表達(dá)式，回顧上兩節(jié)課所解決的解三角形問題，那么把正弦定理、余弦定理放在一起并結(jié)合三角、向量、幾何等知識(shí)我們會(huì)探究出什么樣的解題規(guī)律呢?由此展開新課.

思路2.(問題導(dǎo)入)我們在應(yīng)用正弦定理解三角形時(shí)，已知三角形的兩邊及其一邊的對角往往得出不同情形的解，有時(shí)有一解，有時(shí)有兩解，有時(shí)又無解，這究竟是怎么回事呢?本節(jié)課我們從一般情形入手，結(jié)合圖形對這一問題進(jìn)行進(jìn)一步的探究，由此展開新課.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

?1?回憶正弦定理、余弦定理及其另一種形式的表達(dá)式，并用文字語言敘述其內(nèi)容.能寫出定理的哪些變式?

?2?正、余弦定理各適合解決哪類解三角形問題?

?3?解三角形常用的有關(guān)三角形的定理、性質(zhì)還有哪些?

?4?為什么有時(shí)解三角形會(huì)出現(xiàn)矛盾，即無解呢?比如：,①已知在△ABC中，a=22 cm，b=25 cm，A=135°，解三角形;,②已知三條邊分別是3 cm，4 cm，7 cm，解三角形.

活動(dòng)：結(jié)合課件、幻燈片等，教師可把學(xué)生分成幾組互相提問正弦定理、余弦定理的內(nèi)容是什么?各式中有幾個(gè)量?有什么作用?用方程的思想寫出所有的變形(包括文字?jǐn)⑹?，讓學(xué)生回答正、余弦定理各適合解決的解三角形類型問題、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積定理等.可讓學(xué)生填寫下表中的相關(guān)內(nèi)容：

解斜三角形時(shí)可

用的定理和公式 適用類型 備注

余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA

b2=a2+c2-2accosB

c2=b2+a2-2bacosC (1)已知三邊

(2)已知兩邊及其夾角

類型(1)(2)有解時(shí)只有一解

正弦定理

asinA=bsinB=csinC=2R

(3)已知兩角和一邊

(4)已知兩邊及其中一邊的對角 類型(3)在有解時(shí)只有一解，類型(4)可有兩解、一解或無解

三角形面積公式

S=12bcsinA

=12acsinB

=12absinC

(5)已知兩邊及其夾角

對于正弦定理，教師引導(dǎo)學(xué)生寫出其變式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，利用幻燈片更能直觀地看出解三角形時(shí)的邊角互化.對于余弦定理，教師要引導(dǎo)學(xué)生寫出其變式(然后教師打出幻燈片)：∠A>90°?a2>b2+c2;∠A=90°?a2=b2+c2;∠A

以上內(nèi)容的復(fù)習(xí)回顧如不加以整理，學(xué)生將有雜亂無章、無規(guī)碰撞之感，覺得好像更難以把握了，要的就是這個(gè)效果，在看似學(xué)生亂提亂問亂說亂寫的時(shí)候，教師適時(shí)地打出幻燈片(1張)，立即收到耳目一新，主線立現(xiàn)、心中明朗的感覺，幻燈片除以上2張外，還有：

asinA=bsinB=csinC=2R;a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC;cosA=b2+c2-a22bc，cosB=a2+c2-b22ac，cosC=a2+b2-c22ab.

出示幻燈片后，必要時(shí)教師可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況略作點(diǎn)評.

與學(xué)生一起討論解三角形有時(shí)會(huì)出現(xiàn)無解的情況.如問題(4)中的①會(huì)出現(xiàn)如下解法：

根據(jù)正弦定理，sinB=bsinAa=25sin133°22≈0.831 1.

∵0°

于是C=180°-(A+B)≈180°-(133°+56.21°)=-9.21°或C=180°-(A+B)≈180°-(133°+123.79°)=-76.79°.

到這里我們發(fā)現(xiàn)解三角形竟然解出負(fù)角來，顯然是錯(cuò)誤的.問題出在哪里呢?在檢驗(yàn)以上計(jì)算無誤的前提下，教師引導(dǎo)學(xué)生分析已知條件.由a=22 cm，b=25 cm，這里a

討論結(jié)果：

(1)、(3)、(4)略.

(2)利用正弦定理和余弦定理可解決以下四類解三角形問題：

①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角.

②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角).

③已知三邊，求三個(gè)角.

④已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角.

應(yīng)用示例

例1在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，b=acosC且△ABC的邊長為12，最小角的正弦值為13.

(1)判斷△ABC的形狀;

(2)求△ABC的面積.

活動(dòng)：教師與學(xué)生一起共同探究本例，通過本例帶動(dòng)正弦定理、余弦定理的知識(shí)串聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生觀察條件b=acosC，這是本例中的關(guān)鍵條件.很顯然，如果利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，則有2RsinB=2RsinA?cosC.若利用余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，則有b=a?a2+b2-c22ab，兩種轉(zhuǎn)化策略都是我們常用的.引導(dǎo)學(xué)生注意對于涉及三角形的三角函數(shù)變換.內(nèi)角和定理A+B+C=180°非常重要，常變的角有A2+B2=π2-C2，2A+2B+2C=2π，sinA=sin(B+C)，cosA=-cos(B+C)，sinA2=cosB+C2，cosA2=sinB+C2等，三個(gè)內(nèi)角的大小范圍都不能超出(0°，180°).

解：(1)方法一：∵b=acosC，

∴由正弦定理，得sinB=sinA?cosC.

又∵sinB=sin(A+C)，∴sin(A+C)=sinA?cosC，

即cosA?sinC=0.

又∵A、C∈(0，π)，∴cosA=0，即A=π2.

∴△ABC是A=90°的直角三角形.

方法二：∵b=acosC，

∴由余弦定理，得b=a?a2+b2-c22ab，

2b2=a2+b2-c2，即a2=b2+c2.

由勾股定理逆定理，知△ABC是A=90°的直角三角形.

(2)∵△ABC的邊長為12，由(1)知斜邊a=12.

又∵△ABC最小角的正弦值為13，

∴Rt△ABC的最短直角邊長為12×13=4.

另一條直角邊長為122-42=82，

∴S△ABC=12×4×82=162.

點(diǎn)評：以三角形為載體，以三角變換為核心，結(jié)合正弦定理和余弦定理綜合考查邏輯分析和計(jì)算推理能力是高考命題的一個(gè)重要方向.因此要特別關(guān)注三角函數(shù)在解三角形中的靈活運(yùn)用，及正、余弦定理的靈活運(yùn)用.

變式訓(xùn)練

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且cosA=45.

(1)求sin2B+C2+cos2A的值;

(2)若b=2，△ABC的面積S=3，求a.

解：(1)sin2B+C2+cos2A=1-cos?B+C?2+cos2A

=1+cosA2+2cos2A-1=5950.

(2)∵cosA=45，∴sinA=35.

由S△ABC=12bcsinA得3=12×2c×35，解得c=5.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得a2=4+25-2×2×5×45=13，

∴a=13.

例2已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的對邊，若a=7，c=5，∠A=120°，求邊長b及△ABC外接圓半徑R.

活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察已知條件，有邊有角，可由余弦定理先求出邊b，然后利用正弦定理再求其他.點(diǎn)撥學(xué)生注意體會(huì)邊角的互化，以及正弦定理和余弦定理各自的作用.

解：由余弦定理，知a2=b2+c2-2bccosA，即b2+52-2×5×bcos120°=49，

∴b2+5b-24=0.

解得b=3.(負(fù)值舍去).

由正弦定理：asinA=2R，即7sin120°=2R，解得R=733.

∴△ABC中，b=3，R=733.

點(diǎn)評：本題直接利用余弦定理，借助方程思想求解邊b，讓學(xué)生體會(huì)這種解題方法，并探究其他的解題思路.

變式訓(xùn)練

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2+c2=a2+3bc，求：

(1)A的大小;

(2)2sinB?cosC-sin(B-C)的值.

解：(1)由余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32，

∴∠A=30°.

(2)2sinBcosC-sin(B-C)

=2sinBcosC-(sinB?cosC-cosBsinC)

=sinBcosC+cosBsinC

=sin(B+C)

=sinA

=12.

例3如圖，在四邊形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75°，∠ACB=∠BDC=45°，DC=3，求：

(1)AB的長;

(2)四邊形ABCD的面積.

活動(dòng)：本例是正弦定理、余弦定理的靈活應(yīng)用，結(jié)合三角形面積求解，難度不大，可讓學(xué)生自己獨(dú)立解決，體會(huì)正、余弦定理結(jié)合三角形面積的綜合應(yīng)用.

解：(1)因?yàn)椤螧CD=75°，∠ACB=45°，所以∠ACD=30°.

又因?yàn)椤螧DC=45°，

所以∠DAC=180°-(75°+ 45°+ 30°)=30°.所以AD=DC=3.

在△BCD中，∠CBD=180°-(75°+ 45°)=60°，

所以BDsin75°=DCsin60°，BD =3sin75°sin60°=6+22.

在△ABD中，AB2=AD2+ BD2-2×AD×BD×cos75°=(3)2+(6+22)2-2×3×6+22×6-24= 5，所以AB=5.

(2)S△ABD=12×AD×BD×sin75°=12×3×6+22×6+24=3+234.

同理， S△BCD=3+34.

所以四邊形ABCD的面積S=6+334.

點(diǎn)評：本例解答對運(yùn)算能力提出了較高要求，教師應(yīng)要求學(xué)生“列式工整、算法簡潔、運(yùn)算正確”，養(yǎng)成規(guī)范答題的良好習(xí)慣.

變式訓(xùn)練

如圖，△ACD是等邊三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2.

(1)求cos∠CBE的值;

(2)求AE.

解：(1)因?yàn)椤螧CD=90°+60°=150°，

CB=AC=CD，

所以∠CBE=15°.

所以cos∠CBE=cos(45°-30°)=6+24.

(2)在△ABE中，AB=2，

由正弦定理，得AEsin?45°-15°?=2sin?90°+15°?，

故AE=2sin30°cos15°=2×126+24=6-2.

例4在△ABC中，求證：a2sin2B+b2sin2A=2absinC.

活動(dòng)：此題所證結(jié)論包含關(guān)于△ABC的邊角關(guān)系，證明時(shí)可以考慮兩種途徑：一是把角的關(guān)系通過正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，若是余弦形式則通過余弦定理;二是把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，一般是通過正弦定理.另外，此題要求學(xué)生熟悉相關(guān)的三角函數(shù)的有關(guān)公式，如sin2B=2sinBcosB等，以便在化為角的關(guān)系時(shí)進(jìn)行三角函數(shù)式的恒等變形.

證法一： (化為三角函數(shù))

a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2?2sinB?cosB+(2RsinB)2?2sinA?cosA=8R2sinA?sinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinAsinBsinC=2?2RsinA?2RsinB?sinC=2absinC.

所以原式得證.

證法二： (化為邊的等式)

左邊=a2?2sinBcosB+b2?2sinAcosA=a2?2b2R?a2+c2-b22ac+b2?2a2R?b2+c2-a22bc=ab2Rc(a2+c2-b2+b2+c2-a2)=ab2Rc?2c2=2ab?c2R=2absinC.

點(diǎn)評：由邊向角轉(zhuǎn)化，通常利用正弦定理的變形式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，在轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式后，要注意三角函數(shù)公式的運(yùn)用，在此題用到了正弦二倍角公式sin2A=2sinA?cosA，正弦兩角和公式sin(A+B)=sinA?cosB+cosA?sinB;由角向邊轉(zhuǎn)化，要結(jié)合正弦定理變形式以及余弦定理形式二.

篇三：關(guān)于余弦定理初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

變 式訓(xùn)練

在△ABC中，求證：

(1)a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C;

(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).

證明：(1)根據(jù)正弦定理，可設(shè)

asinA=bsinB= csinC= k，

顯然 k≠0，所以

左邊=a2+b2c2=k2sin2A+k2sin2Bk2sin2C=sin2A+sin2Bsin2C=右邊.

(2)根據(jù)余弦定理，得

右邊=2(bcb2+c2-a22bc+cac2+a2-b22ca+aba2+b2-c22ab)

=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)

=a2+b2+c2=左邊.

知能訓(xùn)練

1.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對的三邊分別為a、b、c.若△ABC的面積S=c2-(a-b)2，則tanC2等于( )

A.12 B.14 C.18 D.1

2.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足4sin2A+C2-cos2B=72.

(1)求角B的度數(shù);

(2)若b=3，a+c=3，且a>c，求a、c的值.

答案：

1.B 解析：由余弦定理及面積公式，得

S=c2-a2-b2+2ab=-2abcosC+2ab=12absinC，

∴1-cosCsinC=14.

∴tanC2=1-cosCsinC=14.

2.解：(1)由題意，知4cos2B-4cosB+1=0，∴cosB=12.

∵0

(2)由余弦定理，知3=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=9-3ac，

∴ac=2.①

又∵a+c=3，②

解①②聯(lián)立的方程組，得a=2，c=1或a=1，c=2.

∵a>c，∴a=2，c=1.

課堂小結(jié)

教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課我們共同探究的解三角形問題，特別是已知兩邊及其一邊的對角時(shí)解的情況，通過例題及變式訓(xùn)練，掌握了三角形中邊角互化的問題以及聯(lián)系其他知識(shí)的小綜合問題.學(xué)到了具體問題具體分析的良好思維習(xí)慣.

教師進(jìn)一步點(diǎn)出，解三角形問題是確定線段 的長度和角度的大小，解三角形需要利用邊角關(guān)系，三角形中，有六個(gè)元素：三條邊、三個(gè)角;解三角形通常是給出三個(gè)獨(dú)立的條件(元素)，求出其他的元素，如果是特殊的三角形，如直角三角形，兩個(gè)條件(元素)就夠了.正弦定理與余弦定理是刻畫三角形邊角關(guān)系的重要定理，正弦定理適用于已知兩角一邊，求其他要素;余弦定理適用于已知兩邊和夾角，或者已知三邊求其他要素.

作業(yè)

課本本節(jié)習(xí)題1—1B組6、7.

補(bǔ)充作業(yè)

1.在△ABC中，若tanAtanB=a2b2，試判斷△ABC的形狀.

2.在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，A=60°，B>C，b、c是方程x2-23x+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，△ABC的面積為32，求△ABC的三邊長.

解答：1.由tanAtanB=a2b2，得sinA?cosBcosA?sinB=a2b2，

由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，

∴sinA?cosBcosA?sinB=4R2sin2A4R2sin2B.

∴sinA?cosA=sinB?cosB，

即sin2A=sin2B.

∴A+B=90°或A=B，

即△ABC為等腰三角形或直角三角形.

2.由韋達(dá)定理，得bc=m，S△ABC=12bcsinA=12msin60°=34m=32，

∴m=2.

則原方程變?yōu)閤2-23x+2=0，

解得兩根為x=3±1.

又B>C，∴b>c.

故b=3+1，c=3-1.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=6，得a=6.

∴所求三角形的三邊長分別為a=6，b=3+1，c=3-1.

設(shè)計(jì)感想

本教案設(shè)計(jì)的思路是：通過一些典型 的實(shí)例來拓展關(guān)于解三角形的各種題型及其解決方法，具體解三角形時(shí)，所選例題突出了函數(shù)與方程的思想，將正弦定理、余弦定理視作方程或方程組，處理已知量與未知量之間的關(guān)系.

本教案的設(shè)計(jì)注重了一題多解的訓(xùn)練，如例4給出了兩種解法，目的是讓學(xué)生對換個(gè)角度看問題有所感悟，使學(xué)生經(jīng)常自覺地從一個(gè)思維過程轉(zhuǎn)換到另一個(gè)思維過程，逐步培養(yǎng)出創(chuàng)新意識(shí).換一個(gè)角度看問題，變通一下，也許會(huì)有意想不到的效果.

備課資料

一、正弦定理、余弦定理課外探究

1.正、余弦定理的邊角互換功能

對于正、余弦定理，同學(xué)們已經(jīng)開始熟悉，在解三角形的問題中常會(huì)用到它，其實(shí)，在涉及到三角形的其他問題中，也常會(huì)用到它們.兩個(gè)定理的特殊功能是邊角互換，即利用它們可以把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，也可以把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，從而使許多問題得以解決.

【例1】 已知a、b為△ABC的邊，A、B分別是a、b的對角，且sinAsinB=32，求a+bb的值.

解：∵asinA=bsinB，∴sinAsinB=ab.又sinAsinB=32(這是角的關(guān)系)，

∴ab=32(這是邊的關(guān)系).于是，由合比定理，得a+bb=3+22=52.

【例2】 已知△ABC中，三邊a、b、c所對的角分別是A、B、C，且2b=a+c.

求證：sinA+sinC=2sinB.

證明：∵a+c=2b(這是邊的關(guān)系)，①

又asinA=bsinB=csinC，∴a=bsinAsinB，②

c=bsinCsinB.③

將②③代入①，得bsinAsinB+bsinCsinB=2b.整理，得sinA+sinC=2sinB(這是角的關(guān)系).

2.正、余弦定理的巧用

某些三角習(xí)題的化簡和求解，若能巧用正、余弦定理，則可避免許多繁雜的運(yùn)算，從而使問題較輕松地獲得解決，現(xiàn)舉例說明如下：

【例3】 求sin220°+cos280°+3sin20°cos80°的值.

解：原式=sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°，

∵20°+10°+150°=180°，∴20°、10°、150°可看作一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角.

設(shè)這三個(gè)內(nèi)角所對的邊依次是a、b、c，由余弦定理，得a2+b2-2abcos150°=c2.(_

而由正弦定理，知a=2Rsin20°，b=2Rsin10°，c=2Rsin150°，代入(_式，得sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°=sin2150°=14.∴原式=14.

二、備用習(xí)題

1.在△ABC中，已知a=11，b=20，A=130°，則此三角形( )

A.無解 B.只有一解

C.有兩解 D.解的個(gè)數(shù)不確定

2.△ABC中，已知(a+c)(a-c)=b2+bc，則A等于( )

A.30° B.60° C.120° D.150°

3.△ABC中，若acosB=bcosA，則該三角形一定是( )

A.等腰三角形但不是直角三角形

B.直角三角形但不是等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

4.△ABC中，tanA?tanB

A.銳角三角形 B.鈍角三角形

C.直角三角形 D.以上都有可能

5.在△ABC中，若∠B=30°，AB=23，AC=2，則△ABC的面積是__________.

6.在△ABC中，已知A=120°，b=3，c=5，求：

(1)sinBsinC;

(2)sinB+sinC.

7.在△ABC中，角A、B、C所對邊的長分別是a、b、c，且cos〈AB→，AC→〉=14.

(1)求sin2B+C2+cos2A的值;

(2)若a=4，b+c=6，且b

參考答案：

1.A 解析：∵a90°，因此無解.

2.C 解析：由已知，得a2-c2=b2+bc，∴b2+c2-a2=-bc.

由余弦定理，得

cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12.

∴A=120°.

3.D 解析：由已知條件結(jié)合正弦定理，得

sinAcosB=sinBcosA，即sinA?cosA=sinB?cosB，

∴sin2A=sin2B.

∴2A=2B或2A=180°-2B，

即A=B或A+B= 90°.

因此三角形為等腰三角形或直角三角形.

4.B 解析：由已知條件，得sinAcosA?sinBcosB0，cosCcosAcosB

說明cosA，cosB，cosC中有且只有一個(gè)為負(fù).

因此三角形為鈍角三角形.

5.23或3 解析：由ACsin30°=ABsinC，知sinC=32.

若∠C=60°，則△ABC是直角三角形，S△ABC=12AB×AC=23.

若∠C=120°，則∠A=30°，S△ABC=12AC×AB?sin30°=3.

6.解法一：(1)∵b=3，c=5，A=120°，

∴由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=9+25-2×3×5×(-12)=49.∴a=7.

由正弦定理，得sinB=bsinAa=3×327=3314，sinC=csinAa=5314，

∴sinBsinC=45196.

(2)由(1)知，sinB+sinC=8314=437.

解法二：(1)由余弦定理，得a=7，

由正弦定理a=2RsinA，得R=a2sinA=733，

∴sinB=b2R=32×733=3314，sinC=c2R=5314.

∴sinBsinC=45196.

(2)由(1)知，sinB+sinC=8314=437.

7.解：(1)sin2B+C2+cos2A=12[1-cos(B+C)]+(2cos2A-1)=12(1+cosA)+(2cos2A-1)=12(1+14)+(18-1)=-14.

(2)由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，

即a2=(b+c)2-2bc-2bccosA

余弦定理教案 篇6

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容及其解析

1.內(nèi)容: 余弦定理

2.解析: 余弦定理是繼正弦定理教學(xué)之后又一關(guān)于三角形的邊角關(guān)系準(zhǔn)確量化的一個(gè)重要定理。在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相關(guān)邊角關(guān)系的定性的結(jié)果，就是“在任意三角形中大邊對大角，小邊對小角”，“如果已知兩個(gè)三角形的兩條對應(yīng)邊及其所夾的角相等，則這兩個(gè)三角形全等”。同時(shí)學(xué)生在初中階段能解決直角三角形中一些邊角之間的定量關(guān)系。在高中階段，學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過對任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握任意三角形中邊角之間的定量關(guān)系，從而進(jìn)一步運(yùn)用它們解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題，使學(xué)生能更深地體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)服務(wù)于生活。

二、目標(biāo)及其解析

目標(biāo)：

1、使學(xué)生掌握余弦定理及推論，并會(huì)初步運(yùn)用余弦定理及推論解三角形。

2、通過對三角形邊角關(guān)系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。解析：

1、在發(fā)現(xiàn)和證明余弦定理中，通過聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法比較證明余弦定理的不同 方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

2、能用余弦定理解決生活中的實(shí)際問題，可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是有用的。

三、教學(xué)問題診斷分析

1、通過前一節(jié)正弦定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生已能解決這樣兩類解三角形的問題：

①已知三角形的任意兩個(gè)角與邊，求其他兩邊和另一角；②已知三角形的任意兩個(gè)角與其中一邊的對角，計(jì)算另一邊的對角，進(jìn)而計(jì)算出其他的邊和角。

而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計(jì)算出另一邊和另兩個(gè)角的問題上，學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關(guān)系的另一種定量關(guān)系。所以，教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)放在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明上。

2、在以往的教學(xué)中存在學(xué)生認(rèn)知比較單一，對余弦定理的證明方法思考也比較單一，而

本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)就在于余弦定理的證明。如何啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化多角度地對余弦定理進(jìn)行證明，從而突破這一難點(diǎn)。

3、學(xué)習(xí)了正弦定理和余弦定理，學(xué)生在解三角形中，如何適當(dāng)?shù)剡x擇定理以達(dá)到更有效地解題，也是本節(jié)內(nèi)容應(yīng)該關(guān)注的問題，特別是求某一個(gè)角有時(shí)既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時(shí)，教學(xué)中應(yīng)注意讓學(xué)生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。

四、教學(xué)支持條件分析

為了將學(xué)生從繁瑣的計(jì)算中解脫出來，將精力放在對定理的證明和運(yùn)用上，所以本節(jié)中復(fù)雜的計(jì)算借助計(jì)算器來完成。當(dāng)使用計(jì)算器時(shí)，約定當(dāng)計(jì)算器所得的三角函數(shù)值是準(zhǔn)確數(shù)時(shí)用等號(hào)，當(dāng)取其近似值時(shí)，相應(yīng)的運(yùn)算采用約等號(hào)。但一般的代數(shù)運(yùn)算結(jié)果按通常的運(yùn)算規(guī)則，是近似值時(shí)用約等號(hào)。

五、教學(xué)過程

（一）教學(xué)基本流程

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

問題1：在△ABC中，∠C = 90°，則用勾股定理就可以得到c2=a2+b

2。【設(shè)計(jì)意圖】：引導(dǎo)學(xué)生從最簡單入手，從而通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形。師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從特殊入手，用已有的初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識(shí)來研究這一問題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關(guān)系。

學(xué)生1：在△ABC中，如圖4，過C作CD⊥AB，垂足為D。在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2AD?BD

= a?b?2abcos?1?cos?2?2absin?1?sin?2=a?b?2abcos(?1??2)?a?b?2abcosC

A

D圖

4學(xué)生2：如圖5，過A作AD⊥BC，垂足為D。

A

圖

5則：c?AD?BD

2?b?CD?(a?CD)?a?b?2a?CD?a?b?2abcosC

學(xué)生3：如圖5，AD = bsinC，CD = bcosC，∴c2 =（bsinC）2+（a-bcosC）2 = a2 +b2-2abcosC

類似地可以證明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。

【設(shè)計(jì)意圖】：首先肯定學(xué)生成果，進(jìn)一步的追問以上思路是否完整，可以使學(xué)生的思維更加嚴(yán)密。

師生活動(dòng)：得出了余弦定理，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化，思考是否還有其他方法證明余弦定理。

教師：在前面學(xué)習(xí)正弦定理的證明過程種，我們用向量法比較簡便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會(huì)有什么想法？

【設(shè)計(jì)意圖】：通過類比、聯(lián)想，讓學(xué)生的思維水平得到進(jìn)一步鍛煉和提高，體驗(yàn)到成功的樂趣。

學(xué)生4：如圖6，????????????記AB?c,CB?a,CA?b????????????則c?AB?CB?CA?a?b???2

2?（c）?（a?b）

?2?2??

?a?b?2a?b?2?2?2??

即c?a?b?2a?b?cosC?c?a?b?2abcosC

A

圖6

【設(shè)計(jì)意圖】：由向量又聯(lián)想到坐標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生從直角坐標(biāo)中用解析法證明定理。

學(xué)生7：如圖7，建立直角坐標(biāo)系，在△ABC中，AC = b，BC = a.且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），則 c?AB

?(acosC?b)?(asinC)

?a?b?2abcosC

【設(shè)計(jì)意圖】：通過以上平面幾何知識(shí)、向量法、解析法引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)證明余弦定理，更好地讓學(xué)生主動(dòng)投入到整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，拓展學(xué)生思維空

間的深度和廣度。

二、探究定理 余弦定理：

a

2222222

2?b?c?2bccosA,b?a?c?2accosB,c?a?b?2abcosC

余弦定理推論： cosA?

b?c?a

2bc，cosB?

a?c?b

2ac

222，cosC?

a?b?c

2ab

222

解決類型：（1）已知三角形的三邊，可求出三角；

（2）已知三角形的任意兩邊與兩邊的夾角，可求出另外一邊和兩角。

三、例題

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問題，既①已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內(nèi)角。

四、目標(biāo)檢測

1、若三角形的三邊為2，4，23，那么這個(gè)三角形的形狀為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三邊為3、4、6，那么此三角形有（）

A．三個(gè)銳角 B．兩個(gè)銳角，一個(gè)直角 C．兩個(gè)銳角，一個(gè)鈍角 D．以上都不對 3．在△ABC中，若其三邊的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，則三個(gè)內(nèi)角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

五、小結(jié)

本節(jié)課的主要內(nèi)容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標(biāo)等各個(gè)不同的方面進(jìn)行探究，得出的余弦定理無論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡捷、和諧、對稱”的美，其變式即推論也很協(xié)調(diào)。

【設(shè)計(jì)意圖】：在學(xué)生探究數(shù)學(xué)美，欣賞美的過程中，體會(huì)數(shù)學(xué)造化之神奇，學(xué)生可以

興趣盎然地掌握公式特征、結(jié)構(gòu)及其他變式。

學(xué)案

1．2 余弦定理

班級(jí)學(xué)號(hào)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、使學(xué)生掌握余弦定理及推論，并會(huì)初步運(yùn)用余弦定理及推論解三角形。

2、通過對三角形邊角關(guān)系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。

二、例題與問題

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

三、目標(biāo)檢測

1、若三角形的三邊為2，4，23，那么這個(gè)三角形的形狀為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三邊為3、4、6，那么此三角形有（）

A．三個(gè)銳角 B．兩個(gè)銳角，一個(gè)直角 C．兩個(gè)銳角，一個(gè)鈍角 D．以上都不對 3．在△ABC中，若其三邊的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，則三個(gè)內(nèi)角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

配餐作業(yè)

一、基礎(chǔ)題(A組)

1.在△ABC中，若acosA?bcosB，則△ABC的形狀是（）A.等腰三角形C.等腰直角三角形

B.直角三角形D.等腰或直角三角形

2.△ABC中，sinA:sinB:sinC?3:2:4，那么cosC?（）

A.4B.3C.?

D.?

3.在△ABC中，已知a?2，b?3，C=120°，則sinA的值為（）

2157

A.38B.7 C.19 D.3

4.在△ABC中，B=135°，C=15°，a?5，則此三角形的最大邊長為。5.△ABC中，如果a?6，b?63，A=30°，邊c?。

二、鞏固題(B組)

6.在△ABC中，化簡bcosC?ccosB?（）

b?c

a?c

a?b

A.a

B.C.D.7.已知三角形的三邊長分別為a、b、a?ab?b，則三角形的最大內(nèi)角是（）A.135°

B.120°

C.60°

D.90°

8.三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程5x?7x?6?0的根，則另一邊長為（）

A.52B.16

C.4D.2

9.（06年北京卷，理12）在△ABC中，若sinA:sinB:sinC?5:7:8，則∠B的大小是。

三、提高題(C組

tanB

?2a?cc

10.在△ABC中，a,b,c分別是角A、B、C的對邊，且tanCa?b?c?，2ab，（1）求C；（2）求A。

cosB

b2a?c

11.在△ABC中，a,b,c分別是A、B、C的對邊，且cosC（1）求角B的大??；（2）若b?

??，a?c?4，求a的值；

余弦定理教案 篇7

各位評委老師，

下午好！今天我說課的題目是余弦定理，說課的內(nèi)容為余弦定理第二課時(shí)，下面我將從說教材、說學(xué)情、說教法和學(xué)法、說教學(xué)過程、說板書設(shè)計(jì)這四個(gè)方面來對本課進(jìn)行詳細(xì)說明：

一、說教材

（一）教材地位與作用

《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一節(jié)內(nèi)容，前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理以及必修4中的任意角、誘導(dǎo)公式以及恒等變換，為后面學(xué)習(xí)三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ)，因此本節(jié)課有承上啟下的作用。本節(jié)課是解決有關(guān)斜三角形問題以及應(yīng)用問題的一個(gè)重要定理，它將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來，實(shí)現(xiàn)了“邊”與“角”的互化，從而使“三角”與“幾何”產(chǎn)生聯(lián)系，為求與三角形有關(guān)的量提供了理論依據(jù)，同時(shí)也為判斷三角形形狀，證明三角形中的有關(guān)等式提供了重要依據(jù)。

（二）教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)上述教材內(nèi)容分析以及新課程標(biāo)準(zhǔn)，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，心理特征及原有知識(shí)水平，我將本課的教學(xué)目標(biāo)定為：

⒈知識(shí)與技能：

掌握余弦定理的內(nèi)容及公式；能初步運(yùn)用余弦定理解決一些斜三角形

⒉過程與方法：

在探究學(xué)習(xí)的過程中，認(rèn)識(shí)到余弦定理可以解決某些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題，幫助學(xué)生提高運(yùn)用有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

⒊情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識(shí)；在運(yùn)用余弦定理的過程中，讓學(xué)生逐步養(yǎng)成實(shí)事求是，扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的思維方式解決問題，認(rèn)識(shí)世界；通過本節(jié)的運(yùn)用實(shí)踐，體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值，應(yīng)用價(jià)值；

（三）本節(jié)課的重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)是：運(yùn)用余弦定理探求任意三角形的邊角關(guān)系，解決與之有關(guān)的計(jì)算問題，運(yùn)用余弦定理解決一些與測量以及幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。

教學(xué)難點(diǎn)是：靈活運(yùn)用余弦定理解決相關(guān)的實(shí)際問題。

教學(xué)關(guān)鍵是：熟練掌握并靈活應(yīng)用余弦定理解決相關(guān)的實(shí)際問題。

下面為了講清重點(diǎn)、難點(diǎn)，使學(xué)生能達(dá)到本節(jié)設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)，我再從教法和學(xué)法上談?wù)劊?/p>

二、說學(xué)情

從知識(shí)層面上看，高中學(xué)生通過前一節(jié)課的學(xué)習(xí)已經(jīng)掌握了余弦定理及其推導(dǎo)過程；從能力層面上看，學(xué)生初步掌握運(yùn)用余弦定理解決一些簡單的斜三角形問題的技能；從情感層面上看，學(xué)生對教學(xué)新內(nèi)容的學(xué)習(xí)有相當(dāng)?shù)呐d趣和積極性，但在探究問題的能力以及合作交流等方面的發(fā)展不夠均衡。

三、說教法和學(xué)法

貫徹的指導(dǎo)思想是把“學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生”,倡導(dǎo)“自主、合作、探究”的學(xué)習(xí)方式。讓學(xué)生自主探索學(xué)會(huì)分析問題，解決問題。

四、說教學(xué)過程

下面為了完成教學(xué)目標(biāo)，解決教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，課堂教學(xué)我準(zhǔn)備按以下五個(gè)環(huán)節(jié)展開：

環(huán)節(jié)⒈復(fù)習(xí)引入

由于本節(jié)課是余弦定理的第一課時(shí)，因此先領(lǐng)著學(xué)生回顧復(fù)習(xí)上節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，采用提問的方式，找同學(xué)回答余弦定理的內(nèi)容及公式，并且讓學(xué)生回想公式推導(dǎo)的思路和方法，這樣一來可以檢驗(yàn)學(xué)生對所學(xué)知識(shí)的掌握情況，二來也為新課作準(zhǔn)備。

環(huán)節(jié)⒉應(yīng)用舉例

在本環(huán)節(jié)中，我將給出兩道典型例題

△ABC的頂點(diǎn)為A（6,5），B（-2,8）和C（4,1），求（精確到）。

已知三點(diǎn)A（1,3），B（-2,2），C（0,-3），求△ABC各內(nèi)角的大小。

通過利用余弦定理解斜三角形的思想，來對這兩道例題進(jìn)行分析和講解；本環(huán)節(jié)的目的在于通過典型例題的解答，鞏固學(xué)生所學(xué)的知識(shí)，進(jìn)一步深化對于余弦定理的認(rèn)識(shí)和理解，提高學(xué)生的理解能力和解題計(jì)算能力。

環(huán)節(jié)⒊練習(xí)反饋

練習(xí)B組題，1、2、3;習(xí)題1-1A組，1、2、3

在本環(huán)節(jié)中，我將找學(xué)生到黑板做題，期間巡視下面同學(xué)的做題情況，加以糾正和講解；通過解決書后練習(xí)題，鞏固學(xué)生當(dāng)堂所學(xué)知識(shí)，同時(shí)教師也可以及時(shí)了解學(xué)生的掌握情況，以便及時(shí)調(diào)整自己的教學(xué)步調(diào)。

環(huán)節(jié)⒋歸納小結(jié)

在本環(huán)節(jié)中，我將采用師生共同總結(jié)-交流-完善的方式，首先讓學(xué)生自己總結(jié)出余弦定理可以解決哪些類型的問題，再由師生共同完善，總結(jié)出余弦定理可以解決的兩類問題：⑴已知三邊，求各角；⑵已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。本環(huán)節(jié)的目的在于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自己總結(jié)；讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)知識(shí)的形成、發(fā)展、完善的過程。

環(huán)節(jié)⒌課后作業(yè)

必做題：習(xí)題1-1A組，6、7;習(xí)題1-1B組，2、3、4、5

選做題：習(xí)題1-1B組7,8,9.

基于因材施教的原則，在根據(jù)不同層次的學(xué)生情況，把作業(yè)分為必做題和選做題，必做題要求所有學(xué)生全部完成，選做題要求學(xué)有余力的學(xué)生完成，使不同程度的學(xué)生都有所提高。本環(huán)節(jié)的目的是讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固和深化所學(xué)的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力。

五、說板書

在本節(jié)課中我將采用提綱式的板書設(shè)計(jì)，因?yàn)樘峋V式-條理清楚、從屬關(guān)系分明，給人以清晰完整的印象，便于學(xué)生對教材內(nèi)容和知識(shí)體系的理解和記憶。

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