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橢圓的標準方程課件 篇1

橢圓的標準方程課件主題范文：

橢圓是高中數(shù)學中常見的一種平面圖形，它在幾何圖形的分類中屬于圓錐曲線，它的形狀如同兩個焦點F1和F2之間的點P到F1和F2的距離之和是一定的，此圖形的中心是連接F1和F2中點的線段中點O，離心率是不超過1的實數(shù)。本文將從以下幾個方面介紹橢圓的標準方程：橢圓的定義、一些重要性質(zhì)以及橢圓的標準方程，讀者可以通過本文深入了解橢圓的相關(guān)知識。

一、橢圓的定義

橢圓是由定點F1,F2到平面上動點r的距離之和等于常數(shù)c>0的點r的集合。其中，F(xiàn)1和F2稱為橢圓的兩個焦點，O是他們連線的中點，且OF1=OF2=c/2。P點是橢圓上的任意一點，d1和d2平分∠F1PF2，以O(shè)為圓心，OP為半徑作圓，交出一條短軸和一條長軸，其中短軸的2倍是標準方程中的“2b”，長軸的2倍是標準方程中的“2a”。

二、橢圓的性質(zhì)

1、橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和為定值：對于橢圓上任意一點P，都有PF1+PF2=c。

2、橢圓上兩點到兩個焦點的距離之和相等：對于橢圓上兩點P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，有PF1(P1)+PF2(P1) = PF1(P2)+PF2(P2)。

3、橢圓上任意一點到兩個焦點連線的夾角和之為180度：對于橢圓上任意一點P，有∠F1PF2 = 180度-2*∠EPF1。其中，E為長軸上與P對稱的點。

4、橢圓的離心率：用"e"表示，“e = c/a”，離心率是一個標識橢圓形態(tài)的因子。

三、橢圓的標準方程

橢圓的標準方程表示為 (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1 或 (y^2/a^2) + (x^2/b^2) = 1。其中，橢圓的長軸長度為2a，短軸長度為2b，中心為原點。(0,0)

對于第一個標準方程，a表示橢圓的長半軸，b表示橢圓的短半軸，且a>b；對于第二個標準方程，a表示橢圓的短半軸，b表示橢圓的長半軸，a

我們可以通過求解標準方程來確定橢圓的形狀，例如，當a=2，b=1時，(x^2/4) + (y^2/1) = 1的橢圓形狀為一個長度為4并且寬度為2的矩形內(nèi)切的圓。

綜上所述，橢圓是一個非常重要的平面圖形，在數(shù)學和物理等領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用，通過本文介紹的橢圓定義、性質(zhì)以及標準方程，相信讀者可以對橢圓有更加全面的認識。

橢圓的標準方程課件 篇2

橢圓的標準方程

橢圓作為數(shù)學中的一個重要圖形，是我們學習數(shù)學的重要內(nèi)容之一。在學習橢圓的標準方程時，我們需要掌握一些相關(guān)的基礎(chǔ)知識，了解橢圓的定義、性質(zhì)以及其標準方程的推導方法。在本文中，我們將對這些內(nèi)容進行詳細的介紹和講解，并通過例題來幫助讀者加深對橢圓的理解和掌握橢圓的標準方程。

一、橢圓的定義

所謂橢圓，是指平面上到兩個固定點F1和F2到距離之和恒定的點的軌跡。 這兩個點稱為橢圓的焦點，距離之和稱為橢圓的長軸，長軸的中點為橢圓的中心。當長軸和短軸分別為2a和2b時，橢圓的面積為πab。

二、橢圓的性質(zhì)

1、橢圓的長軸與短軸交于中心，且相互垂直。

2、橢圓兩個焦點到中心距離之差為長軸的一半，即F1C-F2C=a。

3、橢圓長軸與短軸的長度之比為a:b，即長軸與短軸的長度比值為a/b。

4、橢圓的離心率為e=c/a，其中c為焦點到中心的距離。

三、橢圓的標準方程推導

我們假設(shè)橢圓的中心在原點O處，且焦點F1在x軸正半軸上，焦點F2在x軸負半軸上，橢圓長軸在x軸上，短軸在y軸上，且長軸長度為2a，短軸長度為2b。那么橢圓上任意一點(x,y)到焦點F1的距離為d1=(x-a)，到焦點F2的距離為d2=(x+a)，這時我們可以列出以下的方程。

(x-a)^2 + y^2 = r1^2

(x+a)^2 + y^2 = r2^2

其中，r1和r2分別表示點(x,y)到焦點F1和F2的距離。

將上面兩個方程相減得：

(x+a)^2 - (x-a)^2 = r2^2 - r1^2

化簡得：

4ax = r2^2 - r1^2

又因為：

r1 + r2 = 2a

r2 - r1 = 2y

因此，我們可以得到：

r1 = a - e*x

r2 = a + e*x

其中，e=c/a為橢圓的離心率，c是焦點到中心的距離，x為任意一點的橫坐標。

將下面的兩個方程：

r1 = a - e*x

r2 = a + e*x

代入前面的式子：

4ax = (a+e*x)^2 - (a-e*x)^2

化簡可得：

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

這就是標準的橢圓方程。

四、橢圓標準方程的性質(zhì)

1、橢圓的長半軸a和短半軸b分別為橢圓方程中x和y的系數(shù)之根號。

2、如果橢圓的中心在坐標軸原點，則橢圓方程是對稱的，即x軸和y軸分別為橢圓的對稱軸。

3、如果橢圓的中心不在坐標原點，則橢圓方程是關(guān)于中心對稱的。

4、橢圓的離心率e滿足0五、橢圓標準方程的例題

例1：給定橢圓的長軸長度為8，短軸長度為6，求橢圓標準方程。

解：長軸長度為8，即2a=8，因此a=4。短軸長度為6，即2b=6，因此b=3。將a和b代入方程：

x^2/16 + y^2/9 = 1

即為所求的橢圓的標準方程。

例2：給定橢圓的長軸在x軸上，中心在(3,-2)，焦點到中心的距離為5，求橢圓的標準方程。

解：因為長軸在x軸上，所以中心x坐標為3，焦點到中心的距離為5，因此焦點在(8,-2)和(-2,-2)，離心率為e=c/a=5/6。將這些信息代入公式：

(x-3)^2/36 + (y+2)^2/27 = 1

即為所求的橢圓的標準方程。

結(jié)語

通過本文的介紹和講解，我們可以了解橢圓的定義、性質(zhì)以及橢圓標準方程的推導方法。同時，通過例題的講解，我們可以更加深入地理解和掌握橢圓的概念和相關(guān)知識。在實際應(yīng)用中，掌握橢圓標準方程是很重要的，可以幫助我們更好地分析和解決與橢圓相關(guān)的問題。

橢圓的標準方程課件 篇3

橢圓是二維平面上的一種幾何形狀，其形狀近似于一個扁圓的球。其特點是有兩個焦點，所有點到這兩個焦點距離之和相等。橢圓的標準方程可以通過焦點和長軸長度來確定。在本篇文章中，我們將重點介紹橢圓的標準方程及其相關(guān)的性質(zhì)和應(yīng)用。

一、橢圓的標準方程

橢圓的標準方程有兩種形式，一種是普通形式，另一種是中心形式。我們先來看看橢圓的普通形式：

$\displaystyle\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

其中，(h,k)表示橢圓的中心坐標，a是長軸的長度，b是短軸的長度。從上式中可以看出，橢圓是對稱的，其中心點位于(x,y)平面上。

橢圓的中心形式為：

$\displaystyle\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

其中(h,k)為橢圓的中心點坐標，a是長軸的長度，b是短軸的長度。從中心形式可以看出，橢圓的中心這個重要的點可以直接讀出，并且坐標為(h,k)。

二、橢圓的性質(zhì)

1、橢圓的離心率

橢圓的離心率定義為焦距與長軸的比值，即：

$\displaystyle e=\frac{c}{a}$

其中，c表示兩個焦點之間的距離。對于任何一個橢圓，離心率必須滿足0≤e

2、橢圓的焦點坐標

橢圓有兩個焦點，其坐標可以通過下面的公式計算：

$(h±ae,k)$

其中，(h,k)表示橢圓的中心點坐標，a是長軸的長度，e是橢圓的離心率。

3、橢圓的面積

橢圓的面積可以通過下面的公式計算：

$S=πab$

其中a是長軸的長度，b是短軸的長度。

三、橢圓的應(yīng)用

1、軌道運動

橢圓是天體廣泛運動的形狀之一，例如人造衛(wèi)星、行星、彗星等都沿著橢圓軌道運行?？茖W家們通過對橢圓軌道的模擬和分析，可以計算出行星、衛(wèi)星等天體的運動情況，進而掌握它們的位置和運動狀態(tài)。

2、建筑設(shè)計

橢圓是一種非常常見的建筑設(shè)計元素。例如，橢圓形的穹頂可以為建筑物提供更好的穩(wěn)定性和抗震能力。橢圓形的立柱也能更好地承受建筑物的重量。橢圓形的窗戶則提供了更大的采光面積，讓人們感受到更加寬敞和明亮。

3、醫(yī)療圖像處理

橢圓也具有實用價值。例如，醫(yī)學圖像處理中，醫(yī)生們可以利用橢圓輪廓測量器測量腫瘤的形狀、尺寸等信息，從而對病情進行更準確的評估和治療。

總之，橢圓是一個重要的二維圖形，具有廣泛的應(yīng)用和實用價值。通過橢圓的標準方程和性質(zhì)，我們可以更好地理解橢圓，并且將它應(yīng)用到實際生活和工作中。

橢圓的標準方程課件 篇4

橢圓是幾何中比較基礎(chǔ)的一個圖形，在數(shù)學中有著廣泛的應(yīng)用。橢圓的標準方程是一條方程，它能夠完全描述一個橢圓的幾何特性。在本文中，我將介紹橢圓的標準方程及其相關(guān)的數(shù)學知識。

橢圓是一個平面上的圖形，它是由所有到兩個定點距離之和等于一定值的點所構(gòu)成的。這兩個定點稱為橢圓的焦點，它們都在橢圓的長軸上。橢圓的中心也位于長軸上，同時也是兩個焦點的中點。長軸對應(yīng)的長度稱為橢圓的長軸，短軸對應(yīng)的長度稱為橢圓的短軸。橢圓的離心率定義為焦點距離與長軸長度的比值。

橢圓的標準方程為：

$$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$$

其中，$a$和$b$分別是橢圓的長軸和短軸的長度，$(h,k)$是橢圓的中心坐標。通過這個方程，我們可以計算出橢圓上的任意一個點的坐標。

橢圓的標準方程有一些重要的性質(zhì)。首先，橢圓的中心坐標為$(h,k)$，它是標準方程中 $(x-h)^2$ 和 $(y-k)^2$ 的系數(shù)。其次，離心率$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ 決定了橢圓的形狀。當離心率為零時，橢圓變成一個圓；當離心率為一時，橢圓變成一個拋物線。最后，橢圓的周長和面積可以通過長軸和短軸的長度計算出來。

在解決實際問題時，橢圓的標準方程可以發(fā)揮重要的作用。例如，在計算電子軌道和空間天體軌道時，經(jīng)常需要使用橢圓的標準方程。在工程設(shè)計和圖像處理中，橢圓也有很多應(yīng)用。

總之，橢圓的標準方程是研究橢圓性質(zhì)的基礎(chǔ)，它可以描述橢圓的形狀、大小和位置等重要特征。通過學習這個方程，我們可以更好地理解和應(yīng)用橢圓，為實際問題的解決提供幫助。

橢圓的標準方程課件 篇5

橢圓是平面上的一種幾何形狀，它與圓形非常相似，但其在兩個軸向上的半徑不同。在數(shù)學和物理學中，橢圓起著重要的作用，可以用于描述許多自然現(xiàn)象、機械工程和電子學中的運動。

因此，學習橢圓的基礎(chǔ)知識和標準方程非常重要。以下是一個橢圓的標準方程的課件，并附有相關(guān)的主題范文。

第一部分：基礎(chǔ)知識

橢圓是一個平面圖形，其輪廓接近于一條細長的圓環(huán)。橢圓有兩個主軸，一個短軸和一個長軸。長軸被定義為橢圓上相對于短軸的最長線段，短軸則被定義為最短線段。橢圓的中心是其兩條主軸的交點。

橢圓的標準方程為：

(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1

其中，a和b分別代表橢圓長軸和短軸的兩個半徑。

如果橢圓的中心是點（h，k），那么橢圓的標準方程變?yōu)椋?/p>

((x-h)^2/a^2) + ((y-k)^2/b^2) = 1

此外，還有其他形式的橢圓方程，如極坐標方程和參數(shù)方程。但是，標準方程是最常見和最基礎(chǔ)的形式。

第二部分：應(yīng)用場景

在物理學和工程應(yīng)用中，橢圓的標準方程經(jīng)常出現(xiàn)。例如，在電子學中，一些磁體被設(shè)計成具有橢圓形的橫截面，以獲得更平穩(wěn)和均勻的磁場。橢圓形還可以用于描述人類運動中的一些趨勢，例如，橢圓形的跑步機模擬行走或跑步時腳的移動。

此外，橢圓形還被廣泛應(yīng)用于行星軌道和天體物理學中。為了計算行星的軌道，天文學家使用古典力學中的基本方程和幾何。而橢圓形的形狀可以很好地描述行星軌道的橢圓形。

第三部分：練習

為了更好的理解橢圓的標準方程，以下是一些練習，幫助您更好的掌握橢圓基礎(chǔ)知識：

1. 給定橢圓的長軸和短軸長度，計算其到原點距離。

2. 根據(jù)橢圓的標準方程，計算其長軸和短軸的長度，并繪制出橢圓形。

3. 如果橢圓的中心位于(-3,2)，長軸長度為10，短軸長度為6，那么該橢圓的標準方程是多少？

4. 給定橢圓的標準方程，求出其中心坐標。

5. 那個橢圓的標準方程是(x/9)^2 + (y/4)^2 = 1，其離心率的值是多少？

總之，橢圓形式是一種基本的幾何形狀，具有廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學、物理學和工程學中起著重要的作用。理解它的標準方程是建立對橢圓的深入理解的關(guān)鍵。在練習中不斷學習橢圓的基礎(chǔ)知識，從而更好地理解其應(yīng)用和化身。

橢圓的標準方程課件 篇6

橢圓的標準方程

橢圓是一種非常重要的二次曲線，被廣泛應(yīng)用于數(shù)學、物理學和工程學中。在本篇文章中，我們將探討橢圓的標準方程。

1.橢圓的定義和特點

橢圓是由一個動點P和兩個定點F1和F2組成的幾何圖形，滿足P到F1和F2的距離之和為定值2a（a>0）的點集合稱為橢圓，F(xiàn)1和F2稱為橢圓的焦點，線段F1F2的長度2c稱為橢圓的焦距。橢圓的中心為點O，以及一條連接F1和F2的直線L稱為橢圓的對稱軸，和平分線段L上的點PQ稱為橢圓的主軸。橢圓的離心率為e=c/a。

橢圓的特點：

1)橢圓所有點到中心的距離之和相等。

2)對稱軸平分主軸，并垂直于主軸。

3)兩個焦點與中心的連線平分所有相交于橢圓上兩點的弦。

2.橢圓的方程

我們來研究橢圓的方程。在笛卡爾坐標系下，設(shè)橢圓的中心為點（h，k），橢圓的主軸長為2a,次軸長為2b。坐標系中一個點P(x,y)在橢圓上的條件是它到兩個焦點的距離之和等于橢圓的長軸長度。

由于兩個焦點到橢圓中心的距離相等，我們可以利用勾股定理得：

(x-h)^2+(y-k)^2=（ae）^2

其中，a和e是橢圓的參數(shù)之一。

我們知道，橢圓的長軸長度為2a，取豎直方向為例，則橢圓的坐標方程為：

（x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1

橢圓的標準方程就是以上方程式，其中a和b分別為橢圓的半軸長，h和k為橢圓的中心坐標，通過調(diào)整a,b的值和h,k的值可以畫出不同大小和位置的橢圓，在后續(xù)的計算中，我們可以通過該公式得到橢圓的各種性質(zhì)以及計算橢圓上的各種問題。

3.橢圓的性質(zhì)

1)橢圓的離心率e（02)橢圓的平面積為πab。

3)橢圓的周長不能用初等函數(shù)表示。

4)橢圓的離心率越接近于0，它趨近于一個圓。

4.橢圓的應(yīng)用

橢圓作為一個經(jīng)典的幾何圖形，在數(shù)學、物理學和工程學等眾多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，下面我們介紹一些常見的應(yīng)用：

1)橢圓在衛(wèi)星傳輸、交叉軌道導彈等領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用，因為橢圓可以模擬被衛(wèi)星或?qū)椄櫟牡厍蜍壍馈?/p>

2)在鏡片設(shè)計中，橢圓的特殊形狀可以用來修正顯微鏡物鏡中的像差，以及在光學成像中使用的光學元件的設(shè)計。

3)在機械設(shè)計中，橢圓可以用來構(gòu)建擺線齒輪、齒輪傳動等機構(gòu)。

4)在建筑設(shè)計中，橢圓可以決定建筑物的形狀和流線型。

總結(jié)

橢圓是數(shù)學中一個重要的概念，對于我們了解數(shù)學的許多領(lǐng)域都有很大的幫助。橢圓的標準方程是我們研究橢圓性質(zhì)以及求解問題的基礎(chǔ)，同時，從橢圓的定義和特點來看，橢圓同樣是一個非常具有美感和幾何魅力的圖形。

橢圓的標準方程課件 篇7

《橢圓的標準方程》教案 陽江市兩陽中學? 馮大恒 ? ● 教學目標: 理解橢圓的定義了解用橢圓定義推導橢圓的標準方程； ● 重點、難點重點：橢圓的定義和標準方程推導； 難點：橢圓標準方程的推導； ● 教學方法 啟發(fā)、探索 ● 教學手段 通過學生協(xié)助在黑板作出橢圓的圖型 ● 教學過程 ⒈創(chuàng)設(shè)情景、引入概念 1.首先講出體育場的平面圖及一些形狀橢圓圖形成，形象地給出橢圓，然后請同學列舉一些實際生活中的橢圓形的例子。 指出：橢圓在實際生活中是很常見的，學習橢圓的有關(guān)知識也是十分必要的。提出問題:橢圓其標準方程是怎樣的?激發(fā)出學生的求知欲，提高學習橢圓的興趣，也使他們的注意力集中到課堂上。 2. 教學手段 準備好紙板、圖釘、繩子等材料，為學生進行探索性學習創(chuàng)設(shè)條件讓三個學生到黑板上作圖；同時發(fā)揮多媒體的教學作用，用課件演示教學內(nèi)容，用投影展示學生嘗試學習的成果，提高課堂教學效率和教學質(zhì)量。 教學流程 ? 4概括橢圓的定義 1展現(xiàn)現(xiàn)實世界的橢圓 3回顧圓的'定義和方程 5研究橢圓的方程 6運用 7小結(jié)與思考 2協(xié)助做橢圓 ? 用多媒體演示從橢圓變化到圓的過程，把圓與橢圓進行類比，并得到橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離之和是常數(shù)（大于OF 1F2O）的點的軌跡。兩個定點F1、F2稱為焦點，兩焦點之間的距離稱為焦距，記為2c。若設(shè)M為橢圓上的任意一點，則OMF1O+OMF2O=2 。 ? ⒊標準方程的推導 標準方程的推導是本節(jié)課的難點，在推導時應(yīng)抓住“建立坐標系”和“簡化方程”這兩個環(huán)節(jié)。 ① 建系：給出四種建立坐標系的方法，同時教師結(jié)合建立坐標系的一般原則---使點的坐標、幾何量的表達式簡單化，并從“對稱美”、“簡潔美”的角度出發(fā)作一定的點撥，最后讓學生選擇合理的坐標系。 ② 設(shè)點：設(shè)點M（ ）是橢圓上任意一點，且橢圓的焦點坐標為 F1（-c,0）、F2（c,0） ③ 列式：依據(jù)橢圓的定義式OMF1O+OMF2O=2 列方程，并將其坐標化為 。 ④ 化簡：通過移項、兩次平方后得到： ，為使方程簡單、對稱、和諧，引入字母b，令 ，可得橢圓標準方程為 （a>b>0）。 讓學生將橢圓的x、y軸互換，通過合理的猜想得到焦點在y軸上的橢圓的標準方程。在學生得出橢圓的兩種形式的標準方程后，請學生思考：如何從橢圓的標準方程判斷橢圓焦點的位置？ 通過分析可得：含 、的分式的分母誰大，焦點就在那個軸上。 ? 例1． 判斷下列方程表示的曲線是否為橢圓，若是請求出橢圓的焦點坐標。 ① ? ② ?③ ?? ? 例2. 己知橢圓的焦點在x軸上，焦距是6，橢圓上一點到兩個焦點距離之和是10，寫出這個橢圓的標準方程。 ? 例3．橢圓 上一點P到焦點F1的距離等于6，則點P到另一焦點F2的距離是 。 ? ? ⒌歸納小結(jié) ⑴知識小結(jié)：學生自己小結(jié)。? ⑵方法小結(jié)：①用坐標法研究曲線 ②用運動、變化的觀點分析問題 ? ? ? 6.布置作業(yè) ⑴書第84頁A組1、2? B組1、2 ? ?

橢圓的標準方程課件 篇8

橢圓的標準方程

橢圓是一種重要的數(shù)學圖像，在幾何和代數(shù)中都有重要的應(yīng)用。 橢圓在幾何上是一個封閉的曲線，其所有點的距離到兩個焦點的距離之和是一個常數(shù)，這個常數(shù)被稱為橢圓的長半軸。在代數(shù)中，橢圓可以用標準方程來表示，標準方程由y軸的坐標和x軸的坐標組成。在本篇文章中，我們將探討橢圓的標準方程，包括定義、公式、圖例和應(yīng)用。

標準方程的定義

橢圓的標準方程是一種代數(shù)方程，可以用來描述一個橢圓。它的一般形式為：

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

其中，(h,k)是橢圓的中心點的坐標，a是橢圓的長半軸，b是橢圓的短半軸。

這個標準方程的含義可以用幾何的方法理解。橢圓上的任意一點P(x,y)的坐標可以分別用a和b相對應(yīng)的半徑 r1和 r2表示。更具體地說，半徑 r1是點P到橢圓的長軸的距離，半徑 r2 是點P到橢圓的短軸的距離。這里的長軸和短軸是橢圓的兩個主要軸線。

然后，標準方程的分子部分描述了點P到中心點的距離。分母部分描述了橢圓的兩個半徑。因此，這個方程的實際含義是，橢圓上的任何一點到中心點的距離與軸長的比值都相等。

公式的應(yīng)用

通過標準方程，我們可以很容易地確定橢圓上的任何點的坐標。根據(jù)方程式，我們可以計算出橢圓兩個軸的長度、中心點的坐標以及ELIPSE的離心率。離心率是橢圓的兩個焦點之間的距離與長軸長度的比值。

除此之外，標準方程還可用于計算橢圓的面積。 方程式$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$可轉(zhuǎn)化為 $y=\pm\frac{a}\sqrt{a^2-(x-h)^2}+k$。我們可以使用幾何的方法計算橢圓的面積，或者使用積分計算。 它的面積公式為：$S=\pi ab$。

圖例的應(yīng)用

下面是一張標準方程的橢圓示意圖：

在這個橢圓上，橢圓的中心點是(5,3)，它的長半軸是12，短半軸是8。逆時針旋轉(zhuǎn)30度，以給出橢圓的表面。如果我們計算橢圓上點A的坐標，我們可以使用標準方程計算。

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

$\frac{(x-5)^2}{144}+\frac{(y-3)^2}{64}=1$

當x=13，我們可以通過解方程得出的y是7或-1。所以點A的坐標是(13,7)或(13,-1)。

結(jié)論

橢圓是一種重要的數(shù)學圖像。它在幾何和代數(shù)中都有許多應(yīng)用。 橢圓標準方程是一種方便的方法，可用于計算橢圓上的任意點，方程中包括橢圓的中心點、半軸、面積以及離心率等。

通過學習和運用橢圓的標準方程，我們可以更好地理解橢圓，為解決許多數(shù)學問題提供方便。

橢圓的標準方程課件 篇9

教學目標

1．掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程；2．能根據(jù)條件確定橢圓的標準方程，掌握運用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程；3．通過對橢圓概念的引入教學，培養(yǎng)學生的觀察能力和探索能力；4．通過橢圓的標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數(shù)形結(jié)合和等價轉(zhuǎn)化的思想方法，提高運用坐標法解決幾何問題的能力； 5．通過讓學生大膽探索橢圓的定義和標準方程，激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性，培養(yǎng)學生的學習興趣和創(chuàng)新意識．

教學建議

教材分析

1．? 知識結(jié)構(gòu)

?

2．重點難點分析

重點是橢圓的定義及橢圓標準方程的兩種形式．難點是橢圓標準方程的建立和推導．關(guān)鍵是掌握建立坐標系與根式化簡的方法．

橢圓及其標準方程這一節(jié)教材整體來看是兩大塊內(nèi)容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標準方程．橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把對橢圓的研究放在了重點，在雙曲線和拋物線的教學中鞏固和應(yīng)用．先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然．學好橢圓對于學生學好圓錐曲線是非常重要的．

（1）對于橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點所要滿足的條件，即橢圓上點的幾何性質(zhì)，可以對比圓的定義來理解．

另外要注意到定義中對“常數(shù)”的限定即常數(shù)要大于? ．這樣規(guī)定是為了避免出現(xiàn)兩種特殊情況，即：“當常數(shù)等于? 時軌跡是一條線段；當常數(shù)小于? 時無軌跡”．這樣有利于集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)．但講解橢圓的定義時注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對橢圓定義的準確性．

（2）根據(jù)橢圓的定義求標準方程，應(yīng)注意下面幾點：

①曲線的方程依賴于坐標系，建立適當?shù)淖鴺讼?，是求曲線方程首先應(yīng)該注意的地方．應(yīng)讓學生觀察橢圓的圖形或根據(jù)橢圓的定義進行推理，發(fā)現(xiàn)橢圓有兩條互相垂直的對稱軸，以這兩條對稱軸作為坐標系的兩軸，不但可以使方程的推導過程變得簡單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔．

②設(shè)橢圓的焦距為? ，橢圓上任一點到兩個焦點的距離為 ，令? ，這些措施，都是為了簡化推導過程和最后得到的方程形式整齊、簡潔，要讓學生認真領(lǐng)會．

③在方程的推導過程中遇到了無理方程的化簡，這既是我們今后在求軌跡方程時經(jīng)常遇到的問題，又是學生的難點．要注意說明這類方程的化簡方法：①方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一側(cè)，把其他項移至另一側(cè)；②方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩側(cè)，并使其中一側(cè)只有一項．

④教科書上對橢圓標準方程的推導，實際上只給出了“橢圓上點的坐標都適合方程? “而沒有證明，”方程? 的解為坐標的點都在橢圓上”．這實際上是方程的同解變形問題，難度較大，對同學們不作要求．

（3）兩種標準方程的橢圓異同點

中心在原點、焦點分別在? 軸上，? 軸上的橢圓標準方程分別為：? ，? ．它們的相同點是：形狀相同、大小相同，都有? ，? ．不同點是：兩種橢圓相對于坐標系的位置不同，它們的焦點坐標也不同．

橢圓的焦點在 軸上? 標準方程中? 項的分母較大；

橢圓的焦點在 軸上? 標準方程中? 項的分母較大．

另外，形如? 中，只要? ，? 同號，就是橢圓方程，它可以化為? ．

（4）教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法．例3有三個作用：第一是教給學生利用中間變量求點的軌跡的方法；第二是向?qū)W生說明，如果求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標準方程相同，那么這個軌跡是橢圓；第三是使學生知道，一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓．

教法建議

（1）使學生了解圓錐曲線在生產(chǎn)和科學技術(shù)中的應(yīng)用，激發(fā)學生的學習興趣．

為激發(fā)學生學習圓錐曲線的興趣，體會圓錐曲線知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中提出圓錐曲線要研究的問題，使學生對所要研究的內(nèi)容心中有數(shù)，如書中所給的例子，還可以啟發(fā)學生尋找身邊與圓錐曲線有關(guān)的例子。

例如，我們生活的地球每時每刻都在環(huán)繞太陽的軌道——橢圓上運行，太陽系的其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上．如果這些行星運動的速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行．人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵循這個原理．相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一個物體的運動，不可能有任何其他的軌道．因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構(gòu)成了我們宇宙的基本形式，另外，工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線，都和圓錐曲線有關(guān)，圓錐曲線在實際生活中的價值是很高的．

（2）安排學生課下切割圓錐形的事物，使學生了解圓錐曲線名稱的來歷

為了讓學生了解圓錐曲線名稱的來歷，但為了節(jié)約課堂時間，教學時應(yīng)安排讓學生課后親自動手切割圓錐形的蘿卜、膠泥等，以加深對圓錐曲線的認識．

（3）對橢圓的定義的引入，要注意借助于直觀、形象的模型或教具，讓學生從感性認識入手，逐步上升到理性認識，形成正確的`概念。

教師可從太陽、地球、人造地球衛(wèi)星的運行軌道，談到圓蘿卜的切片、陽光下圓盤在地面上的影子等等，讓學生先對橢圓有一個直觀的了解。

教師可事先準備好一根細線及兩根釘子，在給出橢圓在數(shù)學上的嚴格定義之前，教師先在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離小于細線的長度），再讓兩名學生按教師的要求在黑板上畫一個橢圓。畫好后，教師再在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離大于細線的長度），然后再請剛才兩名學生按同樣的要求作圖。學生通過觀察兩次作圖的過程，總結(jié)出經(jīng)驗和教訓，教師因勢利導，讓學生自己得出橢圓的嚴格的定義。這樣，學生對這一定義就會有深刻的了解。

（4）將提出的問題分解為若干個子問題，借助多媒體課件來體現(xiàn)橢圓的定義的實質(zhì)

在教學時，可以設(shè)置幾個問題，讓學生動手動腦，獨立思考，自主探索，使學生根據(jù)提出的問題，利用多媒體，通過觀察、實驗、分析去尋找解決問題的途徑。在橢圓的定義的教學過程（）中，可以提出“到兩定點的距離的和為定值的點的軌跡一定是橢圓嗎”，讓學生通過課件演示“改變焦距或定值”，觀察軌跡的形狀，從而挖掘出定義的內(nèi)涵，這樣就使得學生對橢圓的定義留下了深刻的印象。

（5）注意橢圓的定義與橢圓的標準方程的聯(lián)系

在講解橢圓的定義時，就要啟發(fā)學生注意橢圓的圖形特征，一般學生比較容易發(fā)現(xiàn)橢圓的對稱性，這樣在建立坐標系時，學生就比較容易選擇適當?shù)淖鴺讼盗?，即使焦點在坐標軸上，對稱中心是原點（此時不要過多的研究幾何性質(zhì)）．雖然這時學生并不一定能說明白為什么這樣選擇坐標系，但在有了一定感性認識的基礎(chǔ)上再講解選擇適當坐標系的一般原則，學生就較為容易接受，也向?qū)W生逐步滲透了坐標法．

（6）推導橢圓的標準方程時教師要注意化解難點，適時地補充根式化簡的方法．

推導橢圓的標準方程時，由于列出的方程為兩個跟式的和等于一個非零常數(shù)，化簡時要進行兩次平方，方程中字母超過三個，且次數(shù)高、項數(shù)多，教學時要注意化解難點，盡量不要把跟式化簡的困難影響學生對橢圓的標準方程的推導過程的整體認識．通過具體的例子使學生循序漸進的解決帶跟式的方程的化簡，即：（1）方程中只有一個跟式時，需將它單獨留在方程的一邊，把其他各項移至另一邊；（2）方程中有兩個跟式時，需將它們放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項．（為了避免二次平方運算）

（7）講解了焦點在x軸上的橢圓的標準方程后，教師要啟發(fā)學生自己研究焦點在y軸上的標準方程，然后鼓勵學生探索橢圓的兩種標準方程的異同點，加深對橢圓的認識．

（8）在學習新知識的基礎(chǔ)上要鞏固舊知識

橢圓也是一種曲線，所以第七章所講的曲線和方程的知識仍然使用，在推導橢圓的標準方程中要注意進一步鞏固曲線和方程的概念．對于教材上在推出橢圓的標準方程后，并沒有證明所求得的方程確是橢圓的方程，要注意向?qū)W生說明并不與前面所講的曲線和方程的概念矛盾，而是由于橢圓方程的化簡過程是等價變形，而證明過程較繁，所以教材沒有要求也沒有給出證明過程，但學生要注意并不是以后都不需要證明，注意只有方程的化簡是等價變形的才可以不用證明，而實際上學生在遇到一些具體的題目時，還需要具體問題具體分析．

（9）要突出教師的主導作用，又要強調(diào)學生的主體作用，課上盡量讓全體學生參與討論，由基礎(chǔ)較差的學生提出猜想，由基礎(chǔ)較好的學生幫助證明，培養(yǎng)學生的團結(jié)協(xié)作的團隊精神。

橢圓的標準方程課件 篇10

橢圓是圓錐曲線中重要的一種,本節(jié)內(nèi)容的學習是后繼學習其它圓錐曲線的基礎(chǔ),坐標法是解析幾何中的重要數(shù)學方法,橢圓方程的推導是利用坐標法求曲線方程的很好應(yīng)用實例。本節(jié)課內(nèi)容的學習能很好地在課堂教學中展現(xiàn)新課程的理念,主要采用學生自主探究學習的方式,使培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新能力的教學思想貫穿于本節(jié)課教學設(shè)計的始終。

橢圓是生活中常見的圖形,通過實驗演示,創(chuàng)設(shè)生動而直觀的情境,使學生親身體會橢圓與生活聯(lián)系,有助于激發(fā)學生對橢圓知識的學習興趣;在橢圓概念引入的過程中,改變了直接給出橢圓概念和動畫畫出橢圓的方式,而采用學生動手畫橢圓并合作探究的學習方式,讓學生親身經(jīng)歷橢圓概念形成的數(shù)學化過程,有利于培養(yǎng)學生觀察分析、抽象概括的能力。

橢圓方程的化簡是學生從未經(jīng)歷的問題,方程的推導過程采用學生分組探究,師生共同研討方程的化簡和方程的特征,可以讓學生主體參與橢圓方程建立的具體過程,使學生真正了解橢圓標準方程的來源,并在這種師生嘗試探究、合作討論的活動中,使學生體會成功的快樂,提高學生的數(shù)學探究能力,培養(yǎng)學生獨立主動獲取知識的能力。

設(shè)計例題、習題的研討探究變式訓練,是為了讓學生能靈活地運用橢圓的知識解決問題,同時也是為了更好地調(diào)動、活躍學生的思維,發(fā)展學生數(shù)學思維能力,讓學生在解決問題中發(fā)展學生的數(shù)學應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力,同時培養(yǎng)學生大膽實踐、勇于探索的精神,開闊學生知識應(yīng)用視野。

橢圓的標準方程課件 篇11

一、教材分析

1、教材的地位及作用

圓錐曲線是高考重點考查內(nèi)容?！皺E圓及其標準方程”是《圓錐曲線與方程》第一節(jié)內(nèi)容,是繼學習圓以后運用“曲線和方程”理論解決具體的二次曲線的又一實例。

從知識上說，它是運用坐標法研究曲線的幾何性質(zhì)的又一次實際演練，同時它也是進一步研究橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)；

從方法上說，它為后面研究雙曲線、拋物線提供了基本模式；

所以，無論從教材內(nèi)容，還是從教學方法上都起著承上啟下的作用，它是學好本章內(nèi)容的關(guān)鍵。因此搞好這一節(jié)的教學，具有非常重要的意義。

2、教學目標

根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學生已有的認知結(jié)構(gòu)心理特征，制定如下教學目標：

（1）、知識目標：掌握橢圓的定義及其標準方程，通過對橢圓標準方程的探求，熟悉求曲線方程的一般方法。

（2）、能力目標：讓學生通過自我探究、合作學習等，提高學生實際動手、合作學習以及運用知識解決實際問題的能力。

（3）、情感目標：在教學中充分揭示“數(shù)”與“形”的內(nèi)在聯(lián)系，體會數(shù)與形的統(tǒng)一，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生勇于探索，勇于鉆研的精神。

3、教學重點、難點

教學重點：橢圓的定義及橢圓的標準方程。

教學難點：橢圓標準方程的建立和推導。

在學習本課前，學生已學習了直線與圓的方程，對曲線和方程的概念有了一些了解與運用的經(jīng)驗，用坐標法研究幾何問題也有了初步的認識。但由于學生學習解析幾何時間還不長、學習程度也較淺，對坐標法解決幾何問題掌握還不夠。另外，學生對含有兩個根式之和（差）等式化簡的運算生疏，去根式的策略選擇不當?shù)仁菍е隆皹藴史匠痰耐茖А背蔀閷W習難點的直接原因。

據(jù)以上對教材及學情的分析，確定橢圓的定義及其標準方程為本課的教學重點；橢圓標準方程的推導為本課的難點。

4、教材處理

根據(jù)新課程大綱要求，本節(jié)課的內(nèi)容特點以及結(jié)合我班學生的實際情況，我把本節(jié)內(nèi)容分2個課時進行教學。

第一課時，主要研究橢圓的`定義、標準方程的推導。

第二課時，運用橢圓的定義求曲線的軌跡方程。

二、教學方法和教學手段

課堂教學中創(chuàng)設(shè)問題的情境，激發(fā)學生主動的發(fā)現(xiàn)問題解決問題，充分調(diào)動學生學習的主動性、積極性；有效地滲透數(shù)學思想方法，發(fā)展學生個性思維品質(zhì)，這是本節(jié)課的教學原則。根據(jù)這樣的原則及所要完成的教學目標，我采用如下的教學方法和手段：

教學方法：我采用的是引導發(fā)現(xiàn)法、探索討論法等。

1、引導發(fā)現(xiàn)法：用動畫演示動點的軌跡，啟發(fā)學生歸納、概括橢圓定義。

2、探索討論法：由學生通過聯(lián)想、歸納把原有的求軌跡方法遷移到新情況中，有利于學生對知識進行主動建構(gòu)；

有利于突出重點，突破難點，發(fā)揮其創(chuàng)造性。

引導發(fā)現(xiàn)法和探索討論法是適應(yīng)新課程體系的一種全新教學模式，它能更好地體現(xiàn)學生的主體性，實現(xiàn)師生、生生交流，體現(xiàn)課堂的開放性與公平性。

教學手段：利用多媒體課件教學，化抽象為具體，降底學生學習難度，增強動感及直觀感，增大教學容量，提高教學質(zhì)量。

三、學法指導

“授人以魚，不如授人以漁?！?/p>

教會學生：

1、動手嘗試；

2、仔細觀察；

3分析討論；

4、抽象出概念，推出方程。

這樣有利于學生發(fā)揮學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程。

四、教學過程

教學流程設(shè)計：認識橢圓→畫橢圓→定義橢圓→推導橢圓方程→橢圓方程知識講解→橢圓方程知識運用→本課小結(jié)→作業(yè)布置

五、教學評價

1、這節(jié)課圍繞“認識橢圓→畫橢圓→定義橢圓→推導橢圓方程→橢圓方程知識講解→橢圓方程知識運用”這一主線展開。

2、教學中學生通過觀看動畫、動手實踐，自己總結(jié)出橢圓定義，符合從感性上升為理性的認識規(guī)律。

3、在整個教學過程中，采用引導發(fā)現(xiàn)法、探索討論法等教學方法，注重數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想的滲透。培養(yǎng)學生勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神。

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